欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第三十五卷目錄
曆法總部彙考三十五
元一〈太宗一則 世祖至元五則 授時曆議上〉
曆法典第三十五卷
曆法總部彙考三十五
元一
太宗七年乙未冬十一月中書省臣請契勘大明曆從之
按：《元史太宗本紀》云云。
世祖至元四年頒萬壽曆
按《元史世祖本紀》不載。 按《曆志》：夫明時治曆，自黃 帝、堯、舜與三代之盛王，莫不重之，其文備見於傳記 矣。雖去古既遠，其法不詳，然原其要，不過隨時考驗， 以合於天而已。漢劉歆作《三統曆》，始立積年日法以 為推步之準，後世因之。歷唐而宋，其更元改法者凡 數十家，豈故相為乖異哉？蓋天有不齊之運，而曆為 一定之法，所以既久而不能不差，既差則不可不改 也。元初承用金《大明曆》，庚辰歲，太宗西征，五月朢，月 蝕，不效，二月五月朔，微月見於西南。中書令耶律楚 材以《大明曆》後天，乃損節氣之分，減周天之秒，去交 終之率，治月轉之餘，課兩曜之後先，調五行之出沒， 以正《大明曆》之失。且以中元庚午歲國兵南伐而天 下略定。推上元庚子歲，天正十一月壬戌朔，子正冬 至，日月合璧，五星聯珠，同會虛宿六度，以應太祖受 命之符。又以西域中原地里殊遠，創為里差以增損 之，雖東西萬里，不復差忒，遂題其名曰《西征庚午元 曆》，表上之，然不果頒用。至元四年，西域札馬魯丁撰 進《萬年曆》，世祖稍頒行之。
至元十三年六月甲戌，以《大明曆》浸差，命太子贊善 王恂與江南日官置局更造新曆，以樞密副使張易 董其事。易、恂奏：「今之曆家，徒知曆術，罕明曆理，宜得 耆儒如許衡者商訂。」詔衡赴京師。
按《元史世祖本紀》云云。 按《曆志》：「十三年平宋，遂詔 前中書左丞許衡、太子贊善王恂、都水少監郭守敬 改治新曆。衡等以為金雖改曆，止以宋《紀元曆》微加 增益，實未嘗測驗於天。乃與南北日官陳鼎臣、鄧元 麟、毛鵬翼、劉巨淵、王素、岳鉉、高敬等參攷累代曆法， 復測候日月屋辰消息運行之變，參別同異，酌取中 數」，以為曆本。
至元十七年，頒《授時曆》。
按《元史世祖本紀》，十七年冬十一月，頒授時曆。 按 《曆志》：「十七年冬至曆成，詔賜名曰授時曆，十八年頒 行天下。」 按《王恂傳》：帝以國朝承用金之大明曆，歲 久浸疏，欲釐正之，知恂精于算術，遂以命之。恂薦許 衡能明曆之理，詔驛召赴闕，命領改曆事，官屬悉聽 恂辟置。恂與衡及楊恭懿、郭守敬等，遍考曆書四十 餘家，晝夜測驗，創立新法，參以古制，推算極為精密， 詳在《守敬傳》。十六年，授嘉議大夫、太史令。十七年，曆 成，賜名《授時曆》，以其年冬頒行天下。 按《許衡傳》，國 家自得中原，用金《大明曆》自大定是正後，六七十年， 氣朔加時漸差。帝以海宇混一，宜協時正日。十三年， 詔王恂定新曆。恂以為曆家知曆數而不知「曆理，宜 得衡領之。」乃以集賢大學士兼國子祭酒教領太史 院事。召至京，衡以為「冬至者曆之本，而求曆本者在 驗氣。今所用宋舊儀，自汴還至京師，已自乖舛，加之 歲久，規環不葉。」乃與太史令郭守敬等新製儀象圭 表，自丙子之冬日測晷景，得丁丑、戊寅、己卯三年冬 至加時，減《大明曆》十九刻二十分。又增損古《歲餘歲 差法》。上考春秋以來冬至，無不盡合。以《月食衡》及金、 木二星距驗冬至日躔，校舊曆，退七十六分。以日轉 遲疾中平行度驗月離宿度，加舊曆三十刻。以線代 管闚，測赤道宿度。以四正定氣立損益限，以定日之 盈縮。分二十八限為三百三十六，以定月之遲疾。以 赤道變九道「定月行，以遲疾轉定度分定朔，而不用 平行度；以日月實合時刻定晦，而不用虛進法；以躔 離朓朒定交食。」其法視古皆密，而又悉去諸曆積年 月日法之傅會者，一本天道自然之數，可以施之永 久而無弊。自餘正訛完闕，蓋非一事。十七年，曆成，奏 上之，賜名曰《授時曆》，頒之天下。 按《楊恭懿傳》，「恭懿 歸田里。十六年，詔安西王相敦遣赴闕入見，詔于太 史院改曆。十七年二月，進奏曰：臣等遍考自漢以來， 曆書四十餘家，精思推算，舊儀難用，而新者未備，故 日行盈縮，月行遲疾，五行周天，其詳皆未精察。今權 以新儀木表與舊儀所測相較，得今歲冬至晷景及 日躔所在，與列舍分度之差。大都北」極之高下，晝夜刻長短，參以古制，創立新法。推筭成《辛巳曆》，雖或未 精，然比之前改曆者附會元曆，更日立法，全踵故習， 顧亦無愧。然必每歲測驗修改，積三十年，庶盡其法， 可使如三代日官，世專其職，測驗良久，無改歲之事 矣。又《合朔議》曰：「日行歷四時一周，謂之一歲，月踰一 周，復與日合，謂之一月。」言一月之始，日月相合，故謂 合朔。自秦廢曆紀，漢太初止用平朔法，大小相間，或 有二大者，故日食多在晦日或二日，測驗時刻亦鮮 中。宋何承天測驗四十餘年，進《元嘉曆》，始以月行遲 速定小餘，以正朔朢，使食必在朔，名定朔法，有三大 二小，時以異舊法罷之。梁虞𠠎造《大同曆》，隋劉焯造 《皇極曆》，皆用定朔，為時所阻。唐傅仁均造《戊寅曆》，定 朔始得行。貞觀十九年四月頻大，人皆異之，竟改從 平朔。李淳風造《麟德曆》，雖不用平朔，遇四大則避人 言，以平朔間之，又希合當世馬進朔法，使無元日之 食。至一行造《大衍曆》，謂「天事誠密，四大、二小何傷」，誠 為確論，然亦循常不改。臣等更造新曆，一依前賢定 論推筭，皆改從實。今十九年曆，自八月後四月併大 實，日月合朔之數也。詳見《郭守敬傳》。是日，方列跪，未 讀奏，帝命許衡及恭懿起曰：「卿二老母自勞也。」授集 賢學士兼太史院事。 按《郭守敬傳》：初，劉秉忠以《大 明曆》自遼、金承用二百餘年，浸以後天，議欲修正而 卒。十三年。江左既平，帝思用其言，遂以守敬與王恂 率南北日官分掌測驗，推步於下，而命文謙與樞密 張易為之主領裁奏於上，左丞許衡參預其事。守敬 首言：「曆之本在於測驗，而測驗之器，莫先儀表。今司 天渾儀，宋皇祐中汴京所造，不與此處天度相符，比 量南北二極，約差四度，表石年深，亦復欹側。」守敬乃 盡考其失而移置之。既又別圖高爽地，以木為重棚， 創作簡儀高表，用相比覆。又以為天樞附極而動。昔 人嘗展管朢之，未得其的，作《候極儀》。極辰既位，天體 斯正，作《渾天象》。象雖形似，莫適所用，作玲瓏儀以表 之。矩方，測天之正圜，莫若以圜求圜，作《仰儀》。古有經 緯，結而不動，守敬易之，作《立運儀》。日有中道，月有「九 行，守敬一之，作證理儀；表高景虛，罔象非真，作景符； 月雖有明，察景則難，作闚几。曆法之驗，在于交會，作 日月食儀。天有赤道，輪以當之，兩極低昂，標以指之， 作星晷定時儀。」又作正方，案九表懸正儀座，正儀為 四方行測者所用。又作《仰規覆矩圖》《異方渾蓋圖》《日 出入永短圖》，與上諸儀互相參攷。十六年，改局為太 史院，以恂為太史令，守敬為同知太史院事，給印章， 立官府，及奏進儀表式。守敬當帝前指陳理致，至于 日晏，帝不為倦。守敬因奏：「唐一行開元間令南宮說 《天下測景，書》中見者凡十三處。今疆宇比唐尤大，若 不遠方測驗，日月交食分數時刻不同，晝夜長短不 同，日月星辰去天高下不同，既目測驗人少，可先南 北立表，取直測。」景帝可其奏，遂設監候官一十四員， 分道而出，東至高麗，西極滇池，南踰朱崖，北盡鐵勒， 四海測驗，凡二十七所。十七年，新曆告成，守敬與諸 臣同上奏曰：「臣等竊聞帝王之事，莫重于曆。自黃帝 迎日推策，帝堯以閏月定四時成歲，舜在璇璣玉衡， 以齊七政。」爰及三代，曆無定法。周秦之間，閏餘乖次。 西漢造《三統曆》，百二十年而後，是非始定。東漢造《四 分曆》，七十餘年而儀式方備。又百二十一年，劉洪造 《乾象曆》，始悟月行有遲速。又百八十年，姜岌造《三紀 甲子曆》，始悟以月食衝檢日宿度所在。又五十七年， 何承天造《元嘉曆》，始悟以朔朢及弦皆定大小餘。又 六十五年，祖沖之造《大明曆》，始悟太陽有歲差之數， 極星去不動處一度餘。又五十二年，張子信始悟日 月交道有表裏，五星有遲疾留逆。又三十三年，劉焯 造《黃極曆》，始悟日行有盈縮。又三十五年，傅仁均造 《戊寅元曆》，頗采舊儀，始用定制。又四十六年，李淳風 造《麟德曆》，以古曆章蔀元首分度不齊，始為總法，用 進朔以避晦晨月見。又六十三年，一行造《大衍曆》，始 以朔有四大、三小，定九服、交食之異。又九十四年，徐 昂造《宣明曆》，始悟日食有氣刻時三差。又百三十六 年，姚舜輔造《紀元曆》，始悟食甚泛餘差數。以上計千 一百八十二年。曆經七十改，其創法者十有三家。自 是又百七十四年。聖朝專命臣等改治新曆，臣等用 創造簡儀高表，憑其測實數，所考正者凡七事：一曰 冬至。自丙子年立冬後，依每日測到晷景，逐日取對 冬至前後日差同者為準，得丁丑年冬至，在戊戌日 夜半後八刻半。又定丁丑夏至在庚子日夜半後七 十刻。又定戊寅冬至在癸卯日夜半後三十「三刻；己 卯冬至在戊申日夜半後五十七刻；庚辰冬至在癸 丑日夜半後八十一刻。各減《大明曆》十八刻。遠近相 符，前後應準。」二曰歲餘。自《大明曆》以來，凡測景驗氣， 得冬至時刻真數者有六，用以相距，各得其時，合用 歲餘。今考驗四年，相符不差。仍自宋大明壬寅年距 至今日八百一十年，每歲合「得三百六十五日二十 四刻二十五分」，其二十五分為今曆歲餘合用之數三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉朢月食既，推求日 躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黃道箕九度有奇。仍 憑每日測到太陽躔度，或憑星測月，或憑月測日，或 徑憑星度測日。立術推筭，起自丁丑正月，至己卯十 二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔於箕，與日食 相符。四曰月離。自丁丑以來至今，憑每日測到逐時 太陰行度，推筭變從黃道，求入轉極遲疾并平行處， 前後凡十三轉，計五十一事。內除去不真的外，有三 十事，得《大明曆》入轉後天。又因考驗交食，加《大明曆》 三十刻，與黃道合，五日入交。自丁丑五月以來，憑「每 日測到太陽去極度數，比擬黃道去極度，得月道交 於黃道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分，得 入交時刻，與《大明曆》所差不多。」六曰二十八宿距度。 自漢《太初曆》以來，距度不同，互有損益，《大明曆》則於 度下餘分附以太半，少皆私意牽就，未嘗實測其數。 今新儀皆細刻周天度分，每度為三十六分，以距線 代管窺宿度，餘分並依實測，不以私意牽就。七曰日 出入晝夜刻。《大明曆》日出入晝夜刻皆據汴京為準， 其刻數與大都不同。今更以本方北極出地高下、黃 道出入內外度立術推求每日日出入晝夜刻，得夏 至極長，日出寅正二刻，日入戌初二刻，晝六十二刻， 夜三十八刻；冬至「極短，日出辰初二刻，日入申正二 刻，晝三十八刻，夜六十二刻，永為定式。」所創法凡五 事，一曰太陽盈縮，用四正定氣立為升降限，依《立招 差》求得每日行分初末極差積度，比古為密。二曰月 行遲疾。古曆皆用二十八限，今以萬分日之八百二 十分為一限，凡析為三百三十六限，依《垛疊招差》求 得轉分進退，其遲疾度數，逐時不同，蓋前所未有。三 曰黃赤道差。舊法以一百一度相減相乘，今依算術 句股弧矢方圜斜直所容，求到度率積差，差率與天 道實脗合。四曰黃赤道內外度。據累年實測內外極 度二十三度九十分，以圜容方直矢接句股為法，求 每日去極，與所測相符。五曰白道交周。舊法黃道變 推白道，以斜求斜。今用立渾比量，得月與赤道正交 距春秋二正、黃赤道正交一十四度六十六分。擬以 為法，推逐月每交二十八宿度分，于理為盡。
至元二十年，詔太子諭德李謙為《曆議》。
按《元史世祖本紀》不載。 按《曆志》，「二十年，詔太子諭 德李謙為曆議，發明新曆順天求合之微，攷證前代 人為附會之失，誠可以貽之永久。自古及今，其推驗 之精，蓋未有出於此者也。今衡恂、守敬等所撰《曆經》 及謙《曆議》故存，皆可攷據，是用具著於篇。惟《萬年曆》 不復傳，而《庚午元曆》雖未嘗頒用，其為書猶在。因附 著」於後，使來者有攷焉。作《曆志》。
至元二十三年春二月，太史院上《授時曆》《經曆議》，敕 藏于翰林國史院。
按《元史世祖本紀》云云。 按《郭守敬傳》，「十九年，恂卒， 時曆雖頒，然其推步之式與立成之數，尚皆未有定 槁。守敬于是比次篇類，整齊分秒，裁為」《推步》七卷，《立 成》二卷，《曆議擬槁》三卷，《轉神選擇》二卷，《上中下三曆 注式》十二卷。二十三年，繼為太史令，遂上表奏進。又 有《時候箋注》二卷，《修改源流》一卷，其測驗書有《儀象 法式》二卷，《二至晷景考》二十卷，《五星細行考》五十卷， 《古今交食考》一卷，《新測二十八舍雜坐諸星入宿去 極》一卷，《新測無名諸星》一卷，《月離考》一卷，並藏之官。
授時曆議上
驗氣
「天道運行，如環無端，治曆者必就陰消陽息之際以 為立法之始。陰陽消息之機，何從而見之？惟候其日 晷進退，則其機將無所遁。候之之法，不過植表測景， 以究其氣至之始。智作能述，前代諸人，為法略備，苟 能精思密索，心與理會，則前人述作之外，未必無所 增益。舊法擇地平衍，設水準繩墨，植表其中，以度其 中晷。然表短促，尺寸之下所為分秒太半少之數，未 易分別。表長則分寸稍長。所不便者景虛而淡，難得 實景。前人欲就虛景之中攷求真實，或設朢筩，或置 小表，或以木為規，皆取表端日光下徹圭面。」今以銅 為表，高三十六尺，端挾以二龍，舉一橫梁，下至圭面 共四十尺，是為八尺之表五。圭表刻為尺寸，舊寸一， 今申而為五。釐毫差易分，別創為《景符》，以取實景。其 制以銅葉，博二寸，長加博之二，中穿一竅，若針芥然， 以方�「為趺，一端設為機軸，令可開闔。榰其一端，使 其勢斜倚，北高南下，往來遷就于虛景之中。竅達日 光，僅如米許，隱然見橫梁于其中。」舊法以表端測晷， 所得者日體上邊之景，今以橫梁取之，實得中景，不 容有毫末之差。地中八尺表景，冬至長一丈三尺有 奇，夏至尺有五寸。今京師長表，冬至之景七丈九尺 八寸有奇，在八尺表則一丈五尺九寸六分；夏至之 景，一丈一尺七寸有奇，在八尺表則二尺三寸四分。 雖晷景長短，所在不同，而其景長為冬至，景短為夏 至，則一也。惟是氣至時刻，攷求不易。蓋至日氣正，則一歲氣節從而正矣。劉宋祖沖之嘗取至前後二十 三四日間晷景，折取其中，定為冬至，且以日差比課 推定時刻。宋皇祐間，周琮則取立冬、立夏二日之景， 以為去至既遠，日差頗多，易為推攷。紀元以後諸曆， 為法加詳，大抵不出沖之之法。「新曆積日絫月，實測 中晷，自遠日以及近日，取前後日率相埒者，參攷同 異，初非偏取一二日之景，以取數多者為定實。減《大 明曆》一十九刻二十分，仍以《累歲實》測中晷日差分 寸，定擬二至時刻于後。」
推「至元十四年丁丑歲冬至。」
其年十一月十四日己亥，景長七丈九尺四寸八分 五釐五毫；至二十一日丙午，景長七丈九尺五寸四 分一釐；二十二日丁未，景長七丈九尺四寸五分五 釐。以己亥、丁未二日之景相校，餘三分五釐為晷差， 進二位；以丙午、丁未二日之景相校，餘八分六釐為 法。除之，得三十五刻；用減相距日八百刻，餘七百六 十五刻。折取其中，加半日刻，共為四百三十二刻半。 百約為日，得四日；餘以十二乘之，百約為時，得三時； 滿五十又作一時，共得四時；餘以十二收之，得三刻。 命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻，為丁丑 歲冬至。此取至前後四日景。
「十一月初九日甲午，景七丈八尺六寸三分五釐五 毫；至二十六日辛亥，景七丈八尺七寸九分三釐五 毫；二十七日壬子，景七丈八尺五寸五分。」以甲午、壬 子景相減，復以辛亥、壬子景相減，準前法求之，亦得。 癸卯日辰初三刻至二十八日癸丑，景七丈八尺三 寸四釐五毫。用壬子、癸丑二日之景，與甲午景準前 法求之，亦合。此取至前後八九日景。
十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六釐五毫。二 日丁亥，景七丈六尺三寸七分七釐。至十二月初六 日庚申，景七丈五尺八寸五分一釐。準前法求之，亦 在辰初三刻。此取至前後一十七日景。十一月二十 一日丙子，景七丈九寸七分一釐。至十二月十六日 庚午，景七丈七寸六分。十七日辛未，景七丈一寸五 分六釐五毫，準前法求之，亦得辰初三刻。此取至前 後二十七日景。
六月初五日癸亥，景一丈三尺八分。距十五年五月 癸未朔，景一丈三尺三分八釐五毫。初二日甲申，景 一丈二尺九寸二分五毫。準前法求之，亦合。此取至 前後一百六十日景。
推十五年戊寅歲夏至
五月十九日辛丑，景一丈一尺七寸七分七釐五毫； 距二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；二十九日 辛亥，景一丈一尺八寸五釐五毫。用辛丑、庚戌二日 之景相減，餘二釐五毫，進二位為實；復用庚戌、辛亥 景相減，餘二分五釐五毫為法；除之，得九刻；用減相 距日九百刻，餘八百九十一刻；半之，加半日刻，百約， 得四日；餘以十二乘之，百約，得十一時；餘以十二收 為刻，得三刻。命初起距日辛丑，算外，得乙巳日亥正 三刻夏至。此取至前後四日景。
十四年十二月十五日己巳，景七丈一尺三寸四分 三釐；距十五年十一月初二日辛巳，景七丈七寸五 分九釐五毫；初三日壬午，景七丈一尺四寸六釐。用 己巳、壬午景相減，以辛巳、壬午景相減除之，亦合。此 用至前後一百五十六日景。
十四年十二月十二日丙寅，景七丈二尺九寸七分 二釐五毫。十三日丁卯，景七丈二尺四寸五分四釐 五毫。十四日戊辰，景七丈一尺九寸九釐。距十五年 十一月初四日癸未，景七丈一尺九寸五分七釐五 毫。初五日甲申，景七丈二尺五寸五釐。初六日乙酉， 景七丈三尺三分三釐五毫。前後互取，所得時刻皆 合。此取至前後一百五十八九日景。
十四年十二月初七日辛酉，景七丈五尺四寸一分 七釐。初八日壬戌，景七丈四尺九寸五分九釐五毫。 初九日癸亥，景七丈四尺四寸八分六釐。距十五年 十一月初九日戊子，景七丈四尺五寸二分五毫。初 十日己丑，景七丈五尺三釐五毫。十一日庚寅，景七 丈五尺四寸四分九釐五毫。以壬戌、己丑景相減為 實，以辛酉、壬戌景相減為法，除之。或以壬戌、癸亥景 相減，或以戊子、己丑景相減，若己丑、庚寅景相減，推 前法求之，皆合。此取至前後一百六十三四日景。
推十五年戊寅歲冬至
其年十一月十九日戊戌，景七丈八尺三寸一分八 釐五毫；距閏十一月初九日戊午，景七丈八尺二寸 六分三釐五毫；初十日己未，景七丈八尺八分二釐 五毫。用戊戌、戊午二日景相減，餘四分五釐為晷差， 進二位；以戊午、己未景相減，餘二寸八分一釐為法； 除之，得一十六刻，加相距日二千刻，半之，加半日刻， 百約，得十日；餘以十二乘之，百約為時，滿五十又進 一時，共得七時；餘以十二收為刻。命初起距日己亥， 筭外，得戊申日未初三刻，為戊寅歲冬至。此取至前後十日景。
十一月十二日辛卯，景七丈五尺八寸八分一釐五 毫。十三日壬辰，景七丈六尺三寸一釐五毫。閏十一 月十五日甲子，景七丈六尺三寸六分六釐五毫。十 六日乙丑，景七丈五尺九寸五分三釐。十七日丙寅， 景七丈五尺五寸四釐五毫。用壬辰、甲子景相減為 實，以辛卯、壬辰景相減為法，除之，亦得戊申日未初 三刻。或用甲子、乙丑景相減，推之，亦合。若用辛卯、乙 丑景相減為實，用乙丑、丙寅景相減，除之，並同。此取 至前後十六七日景。
十一月初八日丁亥，景七丈四尺三分七釐五毫。閏 十一月二十日己巳，景七丈四尺一寸二分。二十一 日庚午，景七丈三尺六寸一分四釐五毫。用丁亥、己 巳景相減為實，以己巳、庚午景相減，除之，亦同。此取 至前後二十一日景。
六月二十六日戊寅，景一丈四尺四寸五分二釐五 毫；二十七日己卯，景一丈四尺六寸三分八釐；至十 六年四月二日戊寅，景一丈四尺四寸八分一釐。以 二「戊寅」景相減，用後「戊寅」、「己卯」景相減，推之，亦同。此 取至前後一百五十日景。
五月二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；至十六 年四月二十九日乙巳，景一丈一尺八寸六分三釐； 三十日丙午，景一丈一尺七寸八分三釐。用庚戌、丙 午景相減，以乙巳、丙午景相減，推之，亦同。此取至前 後一百七十八日景。
推十六年己卯歲夏至
四月十九日乙未，景一丈二尺三寸六分九釐五毫； 二十日丙申，景一丈二尺二寸九分三釐五毫；至五 月十九日乙丑，景一丈二尺二寸六分四釐。以丙申、 乙丑景相減，餘二分九釐五毫為晷差，進二位；以乙 未、丙申景相減，得七分六釐為法；除之，得三十八刻； 加相距日二千九百刻，半之，加半日刻，百約，得十五 日；餘以十二乘之，百約，得二時；餘以十二收之，得二 刻。命初起距日丙申，筭外，得辛亥日寅正二刻為夏 至。此取至前後十五日景。
三月二十一日戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫；六 月十六日壬辰，景一丈六尺九分九釐五毫；十七日 癸巳，景一丈六尺三寸一分一釐。用戊辰、癸巳景相 減，以壬辰、癸巳景相減，準前法推之，亦合。此取「至前 後四十二日景。」
三月初二日己酉，景二丈一尺三寸五釐；至七月初 七日壬子，景二丈一尺一寸九分五釐五毫；初八日 癸丑，景二丈一尺四寸八分六釐五毫。用己酉、壬子 景相減，以壬子、癸丑景相減，如前法推之，亦合。此取 至前後六十一二日景。
三月戊申朔，景二丈一尺六寸一分一釐；至七月初 八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六釐五毫；初九日 甲寅，景二丈一尺九寸一分五釐五毫。用戊申、癸丑 景相減，以癸丑、甲寅景相減，準前法推之，亦同。此取 至前後六十二三日景。
二月十八日乙未，景二丈六尺三分四釐五毫。至七 月二十一日丙寅，景二丈五尺八寸九分九釐；二十 二日丁卯，景二丈六尺二寸五分九釐。用乙未、丙寅 景相減，以丙寅、丁卯景相減，如前法推之，亦同。此取 至前後七十五六日景。
二月三日庚辰，景三丈二尺一寸九分五釐五毫；至 八月初五日庚辰，景三丈一尺五寸九分六釐五毫； 初六日辛巳，景三丈二尺二分六釐五毫。用前庚辰 與辛巳景相減，以後庚辰、辛巳景相減，如前推之，亦 同。此取至前後九十日景。
正月十九日丁卯，景三丈八尺五寸一釐五毫。至八 月十八日癸巳，景三丈七尺八寸二分三釐；十九日 甲午，景三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午景相 減，以癸巳、甲午景相校，如前推之，亦同。此取至前後 一百三四日景。
推十六年己卯歲冬至
十月二十四日戊戌，景七丈六尺七寸四分；至十一 月二十五日己巳，景七丈六尺五寸八分；二十六日 庚午，景七丈六尺一寸四分二釐五毫。用戊戌、己巳 景相減，餘一寸六分為晷差，進二位；以己巳、庚午景 相減，餘四寸三分七釐五毫為法；除之，得三十六刻； 以相減距日三千一百刻，餘三千六十四刻，半之，加 五十刻，百約，得一十五日；餘以十二乘之，百約，為時， 滿五十又進一時，共得十時；餘以十二收之，為刻，得 二刻。命初起距日戊戌，筭外，得癸丑日戌初一刻冬 至。此取至前後十五六日景。
十月十八日壬辰，景七丈四尺五分二釐五毫。十九 日癸巳，景七丈四尺五寸四分五釐。二十日甲午，景 七丈五尺二分五釐。至十一月二十八日壬申，景七 丈五尺三寸二分。二十九日癸酉，景七丈四尺八寸 五分二釐五毫。十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五釐。初二日乙亥，景七丈三尺八寸七分一釐五 毫，用甲午、癸酉景相減，癸巳、甲午景相減，如前推之， 亦同。若以壬申、癸酉景相減為法，推之亦同。此取至 前後十八九日景， 若用癸巳與甲戌景相減，以壬 辰、癸巳景相減，推之；或癸巳、甲午景相減，推之；或用 甲戌、癸酉景相減，推之；或甲戌、乙亥景相減，推之；或 以壬辰、乙亥景相減，用壬辰、癸巳景相減，推之，並同。 此取至前後二十日景。
十月十六日庚寅，景七丈三尺一分五釐；十二月初 三日丙子，景七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，景七 丈二尺八寸四分二釐五毫。用庚寅、丁丑景相減，以 丙子、丁丑景相減，推之，亦同。此取至前後廿三日景。 十月十四日戊子，景七丈一尺九寸二分二釐五毫； 十五日己丑，景七丈二尺四寸六分九釐。十二月初 五日戊寅，景七丈二尺二寸七分二釐五毫。用己丑、 戊寅景相減，以戊子、己丑景相減，推之。或用己丑、庚 寅景相減，推之，亦同。此取至前後二十四日景。 十月初七日辛巳，景六丈七尺七寸四分五釐。初八 日壬午，景六丈八尺三寸七分二釐五毫。初九日癸 未，景六丈八尺九寸七分七釐五毫。十二月十二日 乙丑，景六丈八尺一寸四分五釐。用壬午、乙丑景相 減，以辛巳、壬午景相減，推之壬午、癸未景相減，推之 亦同。此取至前後三十一二日景。
十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分；十二月十八日 辛卯，景六丈四尺二寸九分七釐五毫；十九日壬辰， 景六丈三尺六寸二分五釐。用乙亥、壬辰景相減，以 辛卯、壬辰景相減，推之亦同。此取至前後三十八日 景。
九月二十二日丙寅，景五丈七尺八寸二分五釐。十 二月二十八日辛丑，景五丈七尺五寸八分。二十九 日壬寅，景五丈六尺九寸一分五釐。用丙寅、辛丑景 相減，以辛丑、壬寅景相減，推之亦同。此取至前後四 十七八日景。
九月二十日甲子，景五丈六尺四寸九分二釐五毫。 至十二月二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五 釐。至十七年正月癸卯朔，景五丈六尺二寸五分。用 甲子、癸卯景相減，壬寅、癸卯景相減，推之，亦同。此取 至前後五十日景。
「右以累年推測到冬夏二至時刻為准」，定擬至元十 八年辛巳歲前冬至，當在己未日夜半後六刻，即丑 初一刻。
歲餘歲差
「周天之度，周歲之日，皆三百六十有五。全策之外，又 有奇分，大率皆四分之一。自今歲冬至距來歲冬至， 歷三百六十五日，而日行一周，凡四周。歷千四百六 十，則餘一日」；析而四之，則四分之一也。然天之分常 有餘，歲之分常不足，其數有不能齊者，惟其所差至 微，前人初未覺知。迨漢末劉洪，始覺冬至後天，謂歲 周餘分太強，乃作《乾象曆》，減歲餘分二千五百，為二 千四百六十二。至晉虞喜、宋何承天、祖沖之謂歲當 有差，因立歲差之法。其法損歲餘，益天周，使歲餘浸 弱，天周浸強，強弱相減，因得日躔、歲退之差。歲餘、天 周，二者實相為用。歲差由斯而立，日躔由斯而得？一 或損益失當，詎能與天葉哉？今自劉宋大明壬寅以 來，凡測景驗氣，得冬至時刻真數者有六，取相距積 日時刻，以相距之年除之，各得其時所用歲餘。復自 大明壬寅距至元戊寅積日時刻，以相距之年除之， 得每歲三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明 曆》減去一十一秒，定為方今所用歲餘。餘七十五秒， 用益所謂四分之一，共為三百六十五度二十五分 七十五秒，定為天周。餘分強弱相減，餘一分五十秒， 用除全度，得六十六年有奇，日卻一度，以六十六年 除全度，適得一分五十秒，定為歲差。復以《堯典》中星 攷之，其時冬至日在女、虛之交。及攷之前史，漢元和 二年，冬至日，在斗二十一度；晉太元九年，退在斗十 七度；「宋元嘉十年，在斗十四度末；梁大同十年，在斗 十二度；隋開皇十八年，猶在斗十二度；唐開元十二 年，在斗九度半；今退在箕十度。」取其距今之年、距今 之度較之，多者七十餘年，少者不下五十年，輒差一 度。宋慶元間，改《統天曆》，取《大衍歲差》，率八十二年及 開元所距之差五十五年，折取其中，得六「十七年為 日，卻行一度之差。施之今日，質諸天道，實為密近。然 古今曆法，合於今必不能通於古，密於古必不能驗 於今。今《授時曆》以之攷古，則增歲餘而損歲差；以之 推來，則增歲差而損歲餘。上推《春秋》以來冬至，往往 皆合，下求方來，可以永久而無弊，非止密於今日而 已。仍以《大衍》等六曆攷驗」《春秋》以來冬至疏密，凡四 十九事，具列如後：
冬至刻
大衍 宣明 ，紀元 統天。
大明 授時
獻公十五年戊寅歲，正月甲寅朔旦冬至。
丙辰。〈二十二。〉乙卯。〈八十八〉丁巳。〈三十三〉乙卯。〈二〉丁巳。〈三十五〉甲寅。〈九十九〉
僖公五年丙寅歲，正月辛亥朔旦冬至。
辛亥。〈《九十四》。〉辛亥。〈六十六〉壬子。〈七十四〉辛亥。〈二十七〉壬子。〈八十九〉辛亥。〈十四〉
昭公二十年己卯歲，正月己丑朔旦冬至。
己丑。〈四十《五》。〉己丑。〈二十〉 庚寅。〈二十五〉戊子。〈九十二〉庚寅。〈二十九〉戊子。〈八十三〉
宋元嘉十二年乙亥歲，十一月十五日戊辰景長。
戊辰。〈三十五。〉戊辰。〈三十二〉戊辰。〈三十九〉戊辰。〈五十一〉戊辰。〈四十一〉戊辰。〈四十七〉
元嘉十三年丙子歲，十一月二十六日甲戌景長。
癸酉。〈五十《九》。〉癸酉。〈五十七〉癸酉。〈六十三〉癸酉。〈七十五〉癸酉。〈六十五〉癸酉。〈七十一〉
元嘉十五年戊寅歲，十一月十八日甲申景長。
甲申。〈《八》。〉 甲申。〈六〉 甲申。〈十二〉 甲申。〈二十四〉甲申。〈十四〉 甲申。〈十九〉
元嘉十六年己卯歲，十月二十九日己丑景長。
己丑。〈三十三。〉己丑。〈三十〉 己丑。〈三十七〉己丑。〈四十八〉己丑。〈三十七〉己丑。〈四十四〉
元嘉十七年庚辰歲，十一月初十日甲午景長。
甲午。〈五十《七》。〉甲午。〈五十五〉甲午。〈六十一〉甲午。〈七十二〉甲午。〈六十三〉甲午。〈六十八〉
元嘉十八年辛巳歲，十一月二十一日己亥景長。
己亥。〈八十二。〉己亥。〈七十九〉己亥。〈八十五〉己亥。〈九十七〉己亥。〈八十七〉己亥。〈九十三〉
元嘉十九年壬午歲，十一月初三日乙巳景長。
乙巳。〈六。〉 乙巳。〈四〉 乙巳。〈十〉 乙巳。〈二十一〉乙巳。〈一十一〉乙巳。〈一十七〉
大明五年辛丑歲，十一月乙酉冬至。
甲申。〈《七十》。〉 甲申。〈六十八〉甲申。〈七十二〉甲申。〈八十九〉甲申。〈七十四〉甲申。〈七十九〉
陳天嘉六年乙酉歲，十一月庚寅景長。
庚寅。〈十二。〉 庚寅。〈十三〉 庚寅。〈五〉 庚寅。〈二十四〉庚寅。〈八〉 庚寅。〈十七〉
光大二年戊子歲，十一月《乙巳景長》。
乙巳。〈《八十》。〉 乙巳。〈八十六〉乙巳。〈七十九〉乙巳。〈九十七〉乙巳。〈八十一〉乙巳。〈九十〉
太建四年壬辰歲，十一月二十九日丁卯景長。
丙寅。〈八十三。〉丙寅。〈七十八〉丙寅。〈七十七〉丙寅。〈九十五〉丙寅。〈九十八〉丙寅。〈八十七〉
太建六年甲午歲，十一月二十日丁丑景長。
丁丑。〈三十二。〉丁丑。〈三十三〉丁丑。〈二十五〉丁丑。〈四十三〉丁丑。〈二十七〉丁丑。〈三十六〉
太建九年丁酉歲，十一月二十三日壬辰景長。
癸巳。〈《四》。〉 癸巳。〈六〉 壬辰。〈九十九〉癸巳。〈十六〉癸巳。〈空〉 癸巳。〈八〉
太建十年戊戌歲，十一月五日戊戌景長。
戊戌。〈三十。〉 戊戌。〈三十〉 戊戌。〈二十三〉戊戌。〈四十〉戊戌。〈二十四〉戊戌。〈三十三〉
開皇四年甲辰歲，十一月十一日己巳景長。
己巳。〈七十《七》。〉己巳。〈七十八〉己巳。〈六十九〉己巳。〈八十六〉己巳。〈七十一〉己巳。〈八十六〉
開皇五年乙巳歲，十一月二十二日乙亥景長。
乙亥。〈一、〉 乙亥。〈二〉 甲戌。〈九十二〉乙亥。〈十一〉甲戌。〈五十五〉乙亥。〈一十〉
開皇六年丙午歲，十一月三日庚辰景長。
庚辰。〈二十五。〉庚辰。〈二十六〉庚辰。〈十八〉 庚辰。〈三十四〉庚辰。〈十九〉 庚辰。〈三十四〉
開皇七年丁未歲，十一月十四日乙酉景長。
乙酉。〈《五十》。〉 乙酉。〈五十〉 乙酉。〈四十二〉乙酉。〈五十九〉乙酉。〈四十四〉乙酉。〈五十九〉
開皇十一年辛亥歲，十一月二十八日丙午景長。
丙午。〈四十《八》。〉丙午。〈四十九〉丙午。〈四十三〉丙午。〈五十七〉丙午。〈四十一〉丙午。〈五十六〉
開皇十四年甲寅歲，十一月辛酉朔旦冬至。
壬戌。〈二十一。〉壬戌。〈二十二〉壬戌。〈十二〉 壬戌。〈二十〉壬戌。〈十四〉 壬戌。〈二十九〉
唐貞觀十八年甲辰歲，十一月乙酉景長。
甲申。〈四十《三》。〉甲申。〈四十五〉甲申。〈三十一〉甲申。〈五十〉甲申。〈三十二〉甲申。〈四十四〉
貞觀二十三年己酉歲，十一月辛亥景長。
庚戌。〈六十五。〉庚戌。〈六十八〉庚戌。〈五十三〉庚戌。〈七十二〉庚戌。〈五十四〉庚戌。〈六十六〉
《龍朔》二年壬戌歲，十一月四日己未至戊午景長。
戊午。〈八十三。〉戊午。〈八十六〉戊午。〈六十九〉戊午。〈八十五〉戊午。〈七十一〉戊午。〈八十二〉
儀鳳元年丙子歲，十一月《壬申景長》。
壬申。〈二十五。〉壬申。〈二十八〉壬申。〈二十〉 壬申。〈二十八〉壬申。〈十二〉 壬申。〈二十二〉
永淳元年壬午歲，十一月癸卯景長。
癸卯。〈七十二。〉癸卯。〈七十五〉癸卯。〈五十七〉癸卯。〈七十六〉癸卯。〈五十八〉癸卯。〈六十八〉
開元十年壬戌歲，十一月癸酉景長。
癸酉。〈四十《九》。〉癸酉。〈五十四〉癸酉。〈三十一〉癸酉。〈五十〉癸酉。〈三十二〉癸酉。〈四十六〉
開元十一年癸亥歲，十一月戊寅景長。
戊寅。〈七十《四》。〉戊寅。〈七十八〉戊寅。〈五十五〉戊寅。〈七十四〉戊寅。〈五十六〉戊寅。〈七十〉
開元十二年甲子歲，十一月癸未冬至。
癸未。〈九十《八》。〉甲申。〈三〉 癸未。〈八十〉 癸未。〈九十九〉癸未。〈八十一〉癸未。〈九十五〉
宋景德四年丁未歲，十一月戊辰日南至。
戊辰。〈十五。〉 戊辰。〈二十六〉丁卯。〈七十四〉丁卯。〈八十二〉丁卯。〈七十四〉丁卯。〈八十〉
皇祐二年庚寅歲，十一月三十日癸丑景長。
癸丑。〈六十五。〉癸丑。〈七十九〉癸丑。〈二十二〉癸丑。〈二十五〉癸丑。〈二十二〉癸丑。〈二十三〉
元豐六年癸亥歲，十一月丙午景長。
丙午。〈七十三。〉丙午。〈八十五〉丙午。〈二十六〉丙午。〈二十七〉丙午。〈二十六〉丙午。〈二十六〉
元豐七年甲子歲，十一月辛亥「景長。」
辛亥。〈九十《七》。〉壬子。〈一十〉 辛亥。〈五十〉 辛亥。〈五十一〉辛亥。〈五十〉 辛亥。〈五十一〉
元祐三年戊辰歲，十一月壬申景長。
壬申。〈《九十四》。〉癸酉。〈八〉 壬申。〈四十八〉壬申。〈四十八〉壬申。〈四十八〉壬申。〈四十八〉
元祐四年己巳歲，十一月丁丑景長。
戊寅。〈《十九》。〉 戊寅。〈三十二〉丁丑。〈七十二〉丁丑。〈七十二〉丁丑。〈七十二〉丁丑。〈七十二〉
元祐五年庚午歲，十一月壬午冬至。
癸未。〈四十《四》。〉癸未。〈五十六〉壬午。〈九十六〉壬午。〈九十七〉壬午。〈九十六〉壬午。〈九十六〉
元祐七年壬申歲，十一月癸巳冬至。
癸巳。〈九十二。〉甲午。〈五〉 癸巳。〈四十五〉癸巳。〈四十五〉癸巳。〈四十五〉癸巳。〈四十五〉
元符元年戊寅歲，十一月甲子冬至。
乙丑。〈三十《九》。〉乙丑。〈五十二〉甲子。〈九十一〉甲子。〈九十一〉甲子。〈九十一〉甲子。〈九十一〉
崇寧三年甲申歲，十一月丙申冬至。
丙申。〈八十六。〉丙申。〈九十九〉丙申。〈三十七〉丙申。〈三十六〉丙申。〈三十七〉丙申。〈三十七〉
紹熙二年辛亥歲，十一月壬申冬至。
癸酉。〈十二。〉 癸酉。〈二十七〉壬申。〈五十七〉壬申。〈四十七〉壬申。〈五十七〉壬申。〈四十六〉
慶元三年丁巳歲，十一月癸卯日南至。
甲辰。〈五十《九》。〉甲辰。〈七十四〉甲辰。〈三〉 癸卯。〈九十二〉甲辰。〈三〉 癸卯。〈九十二〉
嘉泰三年癸亥歲，十一月甲戌日南至。
丙子。〈五。〉 丙子。〈二十一〉乙亥。〈四十九〉乙亥。〈三十七〉乙亥。〈四十九〉乙亥。〈三十七〉
嘉定五年壬申歲，十一月壬戌日南至。
癸亥。〈二十五。〉癸亥。〈四十一〉壬戌。〈六十九〉壬戌。〈五十六〉壬戌。〈六十八〉壬戌。〈五十六〉
紹定三年庚寅歲，十一月丙申日南至。
丁酉。〈六十五。〉丁酉。〈八十三〉丁酉。〈七〉 丙申。〈六十三〉丁酉。〈七〉 丙申。〈九十二〉
淳祐十年庚戌歲，十一月辛巳日南至。
壬午。〈《九十四》。〉壬午。〈七十一〉辛巳。〈九十六〉辛巳。〈七十七〉辛巳。〈九十四〉辛巳。〈七十八〉
元朝至元十七年庚辰歲，十一月己未夜半後六刻 冬至。
己未。〈八十《七》。〉庚申。〈五〉 己未。〈二十五〉己未。〈四〉己未。〈二十四〉己未。〈六〉
「右自春秋獻公以來，凡二千一百六十餘年，用《大衍》 《宣明》《紀元》《統天》《大明》《授時》六曆推算冬至，凡四十九 事。《大衍曆》合者三十二，不合者十七；《宣明曆》合者二 十六，不合者二十三；《紀元曆》合者三十五，不合者十 四；《統天曆》合者三十八，不合者十一；《大明曆》合者三 十四，不合者十五；《授時曆》合者三十九，不合者十事。」 今按：獻公十五年戊寅歲正月甲寅朔旦冬至，《授時 曆》得甲寅，《統天曆》得乙卯，後天一日。至僖公五年「正 月辛亥朔旦冬至」，《授時》《統天》皆得辛亥，與天合。下至 昭公二十年己卯歲正月己丑朔旦冬至，《授時》《統天》 皆得戊子，並先一日。若曲變其法以從之，則獻公、僖 公皆不合矣。以此知《春秋》所書昭公冬至，乃日度失 行之驗，一也。《大衍曆》攷古冬至，謂劉宋元嘉十三年 丙子歲十一月甲戌日南至，《大衍》與《皇極》《麟德》三曆 皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三曆之差。今以 《授時曆》攷之，亦得癸酉，二也。大明五年辛丑歲十一 月乙酉冬至，諸曆皆得甲申，殆亦日度之差，三也。陳太建四年壬辰歲十一月丁卯景長，《大衍》《授時》皆得 丙寅，是先一日；《太建》九年丁酉歲十一月壬辰景長， 《大衍》《授時》皆得癸巳，是後一日。一失之先，一失之後。 若合於壬辰則差於丁酉，合於丁酉則差於壬辰，亦 日度失行之驗五也。開皇十一年辛亥歲十一月丙 午景長，《大衍》《統天》《授時》皆得丙午，與天合。至開皇十 四年「甲寅歲十一月辛酉冬至」，而《大衍》《統天》《授時》皆 得壬戌。若合於辛亥則失於甲寅，合於甲寅則失於 辛亥。其開皇十四年甲寅歲冬至，亦日度失行，六也。 唐貞觀十八年甲辰歲十一月乙酉，《景長》諸曆得甲 申。貞觀二十三年己酉歲十一月辛亥，《景長》諸曆皆 得庚戌。《大衍曆議》以《永淳》《開元》冬至推之，知前二冬 至乃史官依時曆以書，必非候景所得，所以不合。今 以《授時曆》攷之，亦然，八也。自前宋以來，測景驗氣者 凡十七事，其景德丁未歲戊辰日南至《統天授時》，皆 得丁卯，是先一日；嘉泰癸亥歲甲戌日南至《統天授 時》皆得乙亥，是後一日。一失之先，一失之後。若曲變 其數以從《景德》，則其餘十六事多後天；從嘉、泰則其 餘十六事多先天。亦日度失行之驗十也。前十事皆 《授時曆》所不合，以此理推之，非不合矣。蓋類其同則 知其中，辨其異則知其變。今於冬至略其日度失行 及史官依時曆書之者凡十事，則《授時曆》三十九事， 皆《中統天曆》，與今曆不合者僅有獻公一事。《大衍曆》 推獻公冬至後天二日，《大明》後天三日，《授時曆》與天 合。下推至元庚辰冬至，《大衍》後天八十一刻，《大明》後 天一十九刻，《統天曆》先天一刻，《授時曆》與天合。以前 代諸曆校之，《授時》為密，庶幾千歲之日至可坐而致 云。
古今曆參校疏密
《授時曆》與古曆相校，疏密自見。蓋上能合於數百載 之前，則下可行之永久，此前人定說。古稱善治曆者， 若宋何承天，隋劉焯，唐傅仁均、僧一行之流，最為傑 出。今以其曆與至元庚辰冬至氣應相校，未有不舛 戾者，而以新曆上推往古，無不脗合，則其疏密從可 知已。
宋文帝元嘉十九年壬午歲十一月乙巳日十一刻 冬至，距元朝至元十七年庚辰歲，計八百三十八年。 其年十一月，氣應己未六刻冬至，《元嘉曆》推之，得辛 酉，後《授時》二日，《授時》上考元嘉壬午歲冬至，得乙巳， 與《元嘉》合。
隋大業三年丁卯歲十一月庚午日五十二刻冬至， 距至元十七年庚辰歲計六百七十三年。《皇極曆》推 之，得庚申冬至，後《授時》一日，《授時》上考大業丁卯歲 冬至，得庚午，與《皇極》合。
唐武德元年戊寅歲十一月戊辰日六十四刻冬至， 距至元十七年庚辰歲，計六百六十二年。戊寅曆推 之，得庚申冬至，後《授時》一日。《授時曆》上考武德戊寅 歲，得戊辰冬至，與《戊寅曆》合。
開元十五年丁卯歲十一月己亥日七十二刻冬至， 距至元十七年庚辰歲，計五百五十三年。《大衍曆》推 之，得己未冬至，後《授時》八十一刻。《授時曆》上考開元 丁卯歲，得己亥冬至，與《大衍曆》合，先四刻。
長慶元年辛丑歲十一月壬子日七十六刻冬至，距 至元十七年庚辰歲，計四百五十九年。《宣明曆》推之， 得庚申冬至，後《授時》一日。《授時曆》上考長慶辛丑歲， 得壬子冬至，與《宣明曆》合。
宋太平興國五年庚辰歲十一月丙午日六十三刻 冬至，距至元十七年庚辰歲，計三百年。《乾元曆》推之， 得庚申冬至，後《授時》一日。《授時曆》上考太平興國庚 辰歲，得丙午冬至，與《乾元》合。
咸平三年庚子歲十一月辛卯日五十三刻冬至，距 至元十七年庚辰歲，計二百八十年。《儀天曆》推之，得 庚申冬至，後《授時》一日。《授時》上考咸平庚子歲，得辛 卯冬至，與《儀天》合。
崇寧四年乙酉歲十一月辛丑日六十二刻冬至，距 至元十七年庚辰歲，計一百七十五年。《紀元曆》推之， 得己未日冬至，後授時十九刻。《授時曆》上考崇寧乙 酉歲，得辛丑日冬至，與《紀元曆》合先二刻。
金大定十九年己亥歲，十一月己巳日六十四刻冬 至，距至元十七年庚辰歲，計一百一年。《大明曆》推之， 得己未冬至，後授時一十九刻。《授時曆》上考大定己 亥歲己巳冬至，與《大明曆》合，先九刻。〈大明冬至蓋測驗未密故也〉 慶元四年戊午歲，十一月己酉日一十七刻冬至，距 至元十七年庚辰歲，計八十二年。《統天曆》推之，得己 未冬至，先《授時》一刻。《授時曆》上考慶元戊午歲，得己 酉日冬至，與《統天曆》合。
周天列宿度
「列宿著於天，為舍二十有八，為度三百六十五有奇。 非日躔無以校其度，非列舍無以紀其度，周天之度， 因二者以得之。」天體渾圓，當二極南北之中，絡以赤 道，日月五星之行，常出入於此。天左旋，日月五星愬而右轉，昔人曆象日月星辰，謂此也。然列舍相距度 數，歷代所測不同，非微有動移，則前人所測，或有未 密。古用闚管，今新制渾儀測用二線。所測度數分秒， 與前代不同者，今列於左：
《漢洛下閎》所測， 唐一行所測。
角十二度，
《亢》九度，
氐十五度，
《房》五度，
《心》五度。
尾十八度。
箕十一度；
東方七十五度。
《斗》，二十六度及分， 二十六度；
《牛》八度，
「女」：十二度。
《虛》十度 十度少強。
危十七度，
「室」，十六度。 十六度。
「壁」：九度，
北方九十八度及分， 九十八度二十五分。
奎十六度；
婁十二度；
胃：十四度。
昴十一度；
畢，十六度。 十七度。
《觜》，二度 一度。
參：九度 十度。
西方八十度 八十一度。
《井》三十三度；
鬼四度 三度。
「柳」，十五度；
星七度。
張：十八度；
《翼》，十八度。
《軫》十七度。
《南方》一百一十二度。 一百一十一度。
宋皇祐所測， 元豐所測。
角。
《亢》。
氐十六度，
《房》 六度，
《心》六度。
尾十九度，
箕：十度。 十一度。
東方七十七度。 七十九度。
「斗」二十五度。
《牛》七度，
「女」：十一度。
虛 九度少強。
危十六度，
「室」十七度。
壁。
《北方》，九十五度二十五分， 九十四度二十五分， 奎。
《婁》：
胃：十五度，
昴：
畢：十八度。 十七度。
《觜》。
參。
西方八十三度。 八十二度。
井。
《鬼》二度。
「柳」，十四度；
星。
張： 十七度，
《翼》， 十九度。
《軫》。
《南方》一百一十度。 一百一十度。
宋崇寧所測， 元至元所測。
角， 十二度一十分；
「亢」，九度少 九度二十分；
氐 十六度三十分；
「房」，五度太 五度六十分。
《心》，六度少 六度五十分。
尾，十九度少， 十九度一十分。
箕，十度半， 十度四十分。
東方：七十八度 七十九度二十分。 斗， 二十五度二十分。 牛，七度少， 七度二十分女，十一度少， 十一度三十五分。 虛， 八度九十五分。
危，十五度半， 十五度四十分。
「室」 十七度一十分；
「壁」：八度太 八度六十分。
北方，九十四度七十五分， 九十三度八十分太。 奎，十六度半， 十六度六十分。
婁 十一度八十分；
「胃」， 十五度六十分。
昴，十一度少， 十一度三十分。
畢，十七度少， 十七度四十分。
「觜」，半度 五分。
參：十度半， 十一度一十分。
西方：八十三度 八十三度八十五分。 井：三十三度少， 三十三度三十分。 鬼：二度半， 二度二十分。
柳，十三度太。 十三度三十分。
星：六度太， 六度三十分。
張，十七度少， 十七度二十五分。 翼，十八度太， 十八度七十五分。 軫， 十七度三十分。
《南方》，一百九度二十五分。 一百八度四十分。
日躔
「日之麗天，縣象最著，大明一生，列宿俱熄。古人欲測 躔度所在，必以昏旦夜半中，星衡考其所距，從考其 所當。然昏旦夜半，時刻未易得真，時刻一差，則所距 所當，不容無舛。晉姜岌首以月食衝檢知日度所在， 《紀元曆》復以太白誌其相距遠近，於昏後明前驗定 星度，因得日躔。」今用至元丁丑四月癸酉朢月食，既 推求得冬至日躔赤道箕宿十度，黃道九度有奇，仍 自其年正月至己卯歲終，三年之間，日測太陰所離 宿次及歲星、太白相距度，定驗參考，共得一百三十 四事，皆躔箕宿適與月食所衝允合。以金趙知微所 修《大明曆》法推之，冬至猶躔斗初度三十六分六十 四秒，比新測實差七十六分六十四秒。
日行盈縮
「日月之行，有冬有夏」，言日月行度，冬夏各不同也。人 徒知日行一度，一歲一周天，曾不知盈縮損益，四序 有不同者。北齊張子信積候合蝕加時，覺日行有入 氣差，然損益未得其正。趙道嚴復準晷景長短，定日 行進退，更造盈縮，以求虧食。至劉焯立躔度，與四序 升降，雖損益不同，後代祖述用之。夫陰陽往來，馴積 而變。冬至日行一度強，出赤道二十四度弱。自此日 軌漸北，積八十八日九十一分，當春分前三日，交在 赤道，實行九十一度三十一分而適平。自後其盈日 損，復行九十三日七十一分，當夏至之日，入赤道內 二十四度弱，實行九十一度三十一分，日行一度弱， 向之盈分，盡損而無餘。自此日軌漸南，積九十三日 七十一分，當秋分。後三日交在赤道，實行九十一度 三十一分而復平。自後其縮日損，行八十八日九十 一分，出赤道外二十四度弱，實行九十一度三十一 分，復當冬至。向之縮分，盡損而無餘。盈縮均有損益， 初為益，末為損。自冬至以及春分，春分以及夏至，日 躔自北，陸轉而西，西而南，於盈為益，益極而損，損至 於無餘而縮。自夏至以及秋分，秋分以及冬至，日躔 自南，陸轉而東，東而北，於縮為益，益極而損，損至「於 無餘而復盈。盈初縮末，俱八十八日九十一分而行 一象。縮初盈末，俱九十三日七十一分而行一象。」盈 縮極差，皆二度四十分，由實測晷景而得，仍以筭術 推考，與所測允合。
月行遲疾
《古曆》謂月平行十三度十九分度之七。漢耿壽昌以 為日月行至牽牛、東井，日過度；月行十五度至婁角， 始平行赤道使然。賈逵以為今合朔弦朢，月食加時， 所以不中者，蓋不知月行遲疾意。李梵、蘇統皆以月 行當有遲疾，不必在牽牛、東井、婁角之間，乃由行道 有遠近出入所生。劉洪作《乾象曆》，精思二十餘年，始 悟其理，列為差率，以囿進退損益之數，後之作曆者 咸因之。至唐一行，考九道委蛇曲折之數，得月行疾 徐之理。先儒謂月與五星皆近日而疾，遠日而遲。曆 家立法，以入轉一周之日為遲疾。二曆各立初末二 限，初為益，末為損。在疾初遲末，其行度率過於平行； 遲初疾末，率不及於平行。自入轉初，日行十四度半 強，從是漸殺，歷七日，適及平行度，謂之「疾初限。」其積 度比平行餘五度四十二分。自是其疾日損。又歷七 日，行十二度微強，向之益者盡損而無餘，謂之「疾末 限。」自是復行遲度。又歷七日，適及平行度，謂之「遲初 限」，其積度比平行不及五度四十二分。自此其遲日 損，行度漸增。又歷七日，復行十四度半強。向之益者 亦損而無餘，謂之「遲末限。」入轉一周，實二十七日五 十五刻四十六分。遲疾極差，皆五度四十二分。舊曆日為一限，皆用二十八限。今定驗得轉分進退時各 不同。今分日為十二，共三百三十六限，半之為半周 限。析而四之為象限。
白道交周
當二極南北之中，橫絡天體以紀宿度者，赤道也。出 入赤道為日行之軌者，黃道也。所謂「白道虛、黃道交 貫」，月行之所由也。古人隨方立名，分為八行，與黃道 而九。究而言之，其實一也。惟其隨交遷徙，變動不居， 故強以方色名之。月道出入日道，兩相交值，當朔則 日為月所掩，當朢則月為日所衝，故皆有食。然涉交 有遠近，食分有深淺，皆可以數推之。所謂「交周」者，月 道出入日道一周之日也。日道距赤道之遠，為度二 十有四；月道出入日道不踰六度，其距赤道也，遠不 過三十度，近不下十八度。出黃道外為陽，入黃道內 為陰。陰陽一周，分為四象。月當黃道為正交，出黃道 外六度為半交，復當黃道為中交，入黃道內六度為 半交，是為「四象。」象別七日，各行九十一度，四象周歷， 是謂一交之終。以日計之，得二十七日二十一刻二 十二分二十四秒。每一交，退天一度二百分度之九 十三，凡二百四十九交，退天一周有奇，終而復始。正 交在春正，半交出黃道外六度，在赤道內十八度。正 交在秋正，半交出黃道外六度，在赤道外三十度；中 交在春正，半交入黃道內六度，在赤道內三十度；中 交在秋正，半交入黃道內六度，在赤道外十八度。月 道與赤道正交，距春秋二正黃、赤道正交宿度，東西 不及十四度三分度之二。夏至在陰曆內，冬至在陽 曆外，月道與赤道所差者多。夏至在陽曆外，冬至在 陰曆內，月道與赤道所差者少。蓋白道二交，有斜有 直，陰陽二曆有內有外。直者密而狹，斜者疏而闊，其 差亦從而異。今立象置法求之，差數多者不過三度 五十分，少者不下一度三十分，是為月道與赤道多 少之差。
晝夜刻
「日出為晝，日入為夜。晝夜一周，共為百刻。以十二辰 分之，每辰得八刻三分刻之一，無間南北所在皆同。 晝短則夜長，夜短則晝長，此自然之理也。」春秋二分， 日當赤道出入，晝夜正等，各五十刻。自春分以及夏 至，日入赤道內，去極浸近，夜短而晝長；自秋分以及 冬至，日出赤道外，去極浸遠，晝短而夜長。以地中揆 「之，長不過六十刻，短不過四十刻。地中以南，夏至去 日出入之所為遠，其長有不及六十刻者。《冬至》去日 出入之所為近，其短有不止四十刻者。地中以北，夏 至去日出入之所為近，其長有不止六十刻者。《冬至》 去日出入之所為遠，其短有不及四十刻者。今京師 冬至，日出辰初二刻，日入申正二刻，故晝刻三十八， 夜刻六十二。夏至日出寅正二刻，日入戌初二刻，故 晝刻六十二，夜刻三十八。」蓋地有南北，極有高下，日 出入有早晏，所有不同耳。今《授時曆》晝夜刻一以京 師為正，其各所實測北極高下，具見《天文志》。
交食
「曆法疏密，驗在交食。然推步之術，難得其密。加時有 早晚，食分有淺深，取其密合，不容偶然。推演加時必 本於《躔離》《朓朒》，考求食分必本於距交遠近。苟入氣 盈縮，入轉遲疾，未得其正，則合朔不失之先，必失之 後。合朔失之先後，則虧食時刻其能密乎？」日月俱東 行，而日遲月疾，月追及日，是為一會。交值之道，有陽 「曆、陰曆，交會之期，有中前、中後。加以地形南北東西 之不同，人目高下邪直之各異，此食分多寡，理不得 一者也。今合朔既正，則加時無早晚之差；氣刻適中， 則食分無強弱之失。推而上之，自《詩》《書》《春秋》及三國 以來，所載虧食，無不合焉者。合於既往，則行之悠久， 自可無弊矣。