欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第七十四卷目錄
曆法總部總論二
章俊卿考索〈卦候論 宿度 歲差黃道 日至交道有異 曆法不容不變
曆元不同 總論七政之運行 太初曆元不同 冬至周復不同 五星約法 曆必更改
乃善 歲差 斗分不同 歲朔 論晦朔弦朢 平朔定朔不同 太初閏餘 大餘小餘
日月度法 氣朔分齊 月道 月道陰曆陽曆 論大衍曆 大衍演天地之數 總論
諸曆 論作曆〉
曆法典第七十四卷
曆法總部總論二
章俊卿考索
卦候論
七十二候，一年二十四氣。一氣有三候，初、中、末是也。 立春，正月節也，東風解凍，蟄蟲始振，魚上冰，此立春 之節，氣之三候也。雨水，正月中也，獺祭魚，鴻鴈來，草 木萌動，此雨水中氣之三候也。周二十四氣，則七十 二候備矣。一行曰：「卦候。」七十二候，原乎《周公時訓》。〈書名〉 「《月令》雖頗有增益，然先後之次第則同。自魏以來，始 載於曆，皆依《易軌》所傳，不合經義，今改從古。」昔一行 譏李淳風專用《呂氏春秋》，今也有取乎《月令》七十二 候之說，而分配以七十二卦，則《月令》未可全非也。卦 止於六十四，而坎、離、震、兌居四正宮，分主四時。此四 卦每卦六爻，四六二十四，每爻當一氣，故此四卦分 主四時，而不專主於一候也。其餘六十卦，則五卦生。 六候者，中氣之末，節氣之初，共一卦主之，其餘四候， 各一卦也。如中氣初候卦為公，中候卦為「辟」，末候卦 為「侯。」至於節氣初候卦亦為侯，中候卦為大夫，末候 卦則為卿也。五卦主六候，六十卦主七十二候也。夫 坎離震兌且不專主於一候，而乾坤二卦何以各主 一候邪？蓋六十卦之中，所謂辟者，君也。若主十二月 中炁也，子復丑臨寅泰卯大壯、辰夬巳乾、午姤未遯 申否、酉觀、戌剝亥坤。此十二卦主十二月中炁，故乾 坤居巳亥之位也。以十二卦分配十二月，《孟氏章句》 也。乾六爻俱為陽，一陽生於子而極於巳，為六陽，故 乾居巳位。《坤》六爻俱為陰，一陰生於午而極於亥，為 六陰，故坤居亥位也。一陽生為復，二陽生為臨，三陽 為泰，四陽為大壯，五陽為夬，六陽為乾。《乾》之所生，凡 五卦也。一陰生為姤，二陰生為遯，三陰為否，四陰為 觀，五陰為剝，六陰為坤。坤之所生，凡五卦也。乾坤雖 分主乎一候，而十二中炁皆乾坤之所生也。不特此 也，六「十卦可以配七十二候，一卦六爻當一日，六六 三十六」，以之分配三百六十日可也。京房推六十四 卦直日，悉是道也。
宿度
「著赤道，帶天之腹，畫二十八舍，以分周天之度，而昏 旦之中星定矣。」疏曰：「二十八舍者，二十八宿之度數 也。以日月五星之所次舍，故諸志亦曰二十八舍也。 《東漢志》載永元太史黃道銅儀，以角為十三度，亢十， 氐十六，房五，心五，尾十八，箕十，斗二十四四分度之 一，牽牛七，須女十一，虛十，危十六，營室十八，東壁十」， 奎十七，婁十二，胃十五，昴十一，畢十六，觜三，參八，東 井三十，輿鬼四，柳十四，星七，張十七，翼十九，軫十九。 《唐志》：「一行《大衍曆》：南斗二十六，牛八，婺女十二，虛十， 太危十七，營室十六，東壁九，奎十六，婁十二，胃十四， 昴十一，畢十七，觜觿一，參十，東井三十三，輿鬼三，柳 十五，星七，張十八，翼十八，軫十七，角」十二，亢九，氐十 五，房五，心五，尾十八，箕十一，為赤道度。其畢、觜、觿、參、 輿鬼四宿度數與古不同。舊經，角距星去北極九十 一度，亢八十九度，氐九十四度，南斗百一十六度，牛 百六度，虛百四度，危九十七度，營室八十五度，東壁 八十六度，奎七十六度，婁八十度，胃、昴七十四度，畢 七十八度，觜、觿八十四度。參，九十四度。東井，七十度。 輿鬼，六十八度。柳，七十七度。七星，九十一度。張，九十 七度。翼，九十七度。軫，九十八度。一行《大衍曆》，角距星： 去北極九十三度半。亢，九十一度半。氐，九十八度。房， 百一十度半。心，百一十度。尾，百二十四度。箕，百二十 度。南斗，百一十九度。牽牛，百四度。須女，百一度。虛，百 一度。危九十七度，營室八十三度，東壁八十四度；奎 七十三度，婁七十七度，胃、昴、畢七十六度，觜、觿八十 二度；參九十三度，東井六十八度，輿鬼六十八度；柳 八十度半，七星九十三度半。張百度，翼百三度，軫百 度。今用一行《大衍》，更定度數，較之於古，尤為精矣。此 所以著赤道帶天之腹，畫二十八舍，以分「周天之度 也。定昏旦之中星」，其法尤詳。
歲差黃道
赤道，天度也。黃道，日度也。皆以二十八宿分配焉。《班 志》，二十八宿之度。〈本劉歆曆譜〉「惟南斗東井之度多，觜觿 輿鬼之度少。蓋觜二度，鬼四度，斗二十六度，井三十 三度也。唐一行赤道之度，其井斗之度與《漢志》同，惟 觜觿一度，輿鬼三度，各減於一度耳。」至於黃道之度則南斗三十三度半，東井三十度，已與赤道之度不 同。較之《范志》所載黃道銅儀，斗減二度為二十四度， 井減二度為三十度，大略相同。是知東漢以前，黃道、 赤道之度，混而為一，《班志》之所紀者是也。東漢以後， 始分為二，故赤道之度差多，黃道之度差少，《范志》一 行之所紀者也。黃道度少，赤道度多，天行與日月不 同也。一行《日度議》曰：「古曆日有常度，天周為歲，故專 其度於節氣。虞喜乃以天為天，歲為歲，立差以追其 變焉。」觀乎此。則知《班志》所載。猶以天周為歲。東漢以 來。始有黃赤道之異。〈觀黃道度少赤道度多則一行歲差之說是也〉夫既有 黃赤道之異，而度之加減不同，此劉孝孫謂「堯時冬 至，日在危宿，武帝太初元年，日在牽牛初」，而晉宋間 姜岌、何承天以日在斗十七度，隋甲辰之歲以日在 斗十三度，所以紛紛而不齊也。夫日在危宿至牽牛 初，自牽牛而至斗十七度，自斗十七度至十三度，使 日度歲差，或常進而無退，或常退而無進。由「古迄今， 四時易位矣。」是則歲差之說，固當以進退加減之際 辨之，然亦由古今加減并度之不一，與黃赤二道之 不齊也。
一行議日度曰：「方以牽牛上星為距，太初改用中星，故《洪範傳》曰『日在牽牛一度也，與二十八宿起處不同之說相類』。」
日至交道有異
「夫中星遲，則日至所在不同，而黃道隨之矣。」《疏》曰：「黃 道者，光道也。日之所行，故曰光道。《晉志》載葛洪《渾天 儀注》，謂黃道與赤道東交於角五少弱，西交於奎十 四少強，南至斗二十一度，北至井二十五度。」《唐志》云： 「黃道春分與赤道交奎五度多，秋分與赤道交於軫 十四度少，南至斗十度，北至井十三度。」愚按：葛洪所 引《渾天儀注》，似是漢人所作。其論黃道東西交、南北 至度數，近太初元年日行之度。《唐志》則據開元甲子 而云，所以不同也。至於《漢志》謂光道北至東井，南至 牽牛，東至角，西至婁，其北至東交與葛洪同，其南至 西交與葛洪異。蓋班固主《太初曆》而云：「其《太初曆》謂 冬至日在牽牛初」，東漢賈逵已論其疏矣，葛洪與賈 逵一說也。此所謂「日至所在不同，而黃道隨之」矣。
曆法不容不變
「曆之名始於黃帝，曆之算定於容成。夫上稽天象，下 正人時，非曆有所不可。故有起之以律者矣，累實於 黃鐘是已；有積之以數者矣，較分於絲毫是已。又有 驗之以象者矣，作儀於渾天是已。然由古迄今，言天 者是幾，而造曆者尤非一家，終不能保其曆之不變 者，曆法之不容不變也。是故黃帝起辛卯，顓帝用乙」 卯，夏用丙寅，周用丁巳，魯用庚子，此則曆元之可驗 者也。夏四百三十二年，日差五度；商六百二十八年， 日差八度；周訖春秋，日差八度。戰國及秦，日差三度。 此則歲差之可證者也。斗分未易考也。古曆謂在建 星，賈逵謂在牽牛中星，范蔚宗謂在斗十一度，則言 斗分者為不同，日度未易稽也。《秦曆》以孟春在營室 五度；《三統》以立春在危斗六度；元嘉以正月中在室 一度。則言日度者為不一。然曆取更歷之義，故世代 更曆，群言不厭其紛，諸家不必其異。否則治曆明時 之語，聖人何以特取於革哉？嘗因是而為之說曰：「《革》 之為言更也，聖人序卦至四十九，而特以《革》卦居焉。」 是又發明大衍之數「足以治曆」也。
曆元不同
《東漢志》曰：「黃帝造曆，元起辛卯，顓帝用乙卯，虞用戊 午，夏用丙寅，商用甲寅，周用丁巳，魯用庚子，漢承秦， 初用乙卯。」〈秦用顓帝曆也〉武帝元封七年，作《太初曆》元以丁 丑，《章帝四分曆》元以庚申，《太初》以上諸曆，所謂六曆 也。六曆之書，《前漢·藝文志》載之詳矣，其起曆之元，必 於此乎見之。自太初以來，曆起皆有元，諸志所載曆 法，必先推其元之所起，以為積算之紀綱。故太初元 法四千六百一十七年。
范蔚宗以四千五百六十為元，與古不同。《太初》并閏歲之月總計之也。《三紀》，大備之意。
《三統》，《上元》，十四萬三千歲。〈見漢志〉《乾象》元法：七千三百 七十八年。《正曆》元法：九萬七千一年。〈晉武帝太始中劉智造〉《通 曆》甲子元法推開闢之始，亦九萬七十年。〈晉王朔之〉《三紀 甲子》，元法八萬三千八百四十一年。〈蔡邕〉「張賓《甲子元 法》，積四百萬餘算；劉焯《甲子元法》，積一百萬餘算。」一 行曆本議積算五千萬億歲。夫數往所以知來也，考 古所以驗今也。積算之多，於以見密率之詳、推步之 審焉耳。自三皇、五帝至於漢，方數千年，而漢世曆家 以三統之數推之，亦已多矣。王朔之復以九萬餘年 為開闢之始，張賓、劉焯一行，又以數百萬億為積算， 豈開闢之上復有開闢耶？按後漢順帝漢安二年，宗 訢等議：建曆之本，必先正元，正元然後定日法，日法 定然後度周天，以定分至也。又按靈帝時，馮光言盜 賊之起，由曆元不一。蔡邕力辨其非，以為咎不在此。
范蔚宗作《東漢志》，亦曰：「曆之興廢，以疏密課，固不在考證乎元。」二子之論，或以為曆必正元，或以為曆不主於
元，何者為是？嘗觀唐傅仁均作《戊寅曆》，所以武德元 年為曆始。〈高祖以戊寅歲甲月登極〉而歲朔遲疾、交會及五星皆 有加減。至九年，復用上元積算。五代晉高祖時，馬重 績作《調元曆》，不復推古上元，止以唐天寶十四載為 元，行之輒差，遂復用唐末《崇元曆》。揆此二事，則推曆 起元，止據目前，攷驗無證，則其術失之淺；上推「開闢， 冥測洪濛」，則其術近乎迂也。必用太史公《三紀大備》 之法。范蔚宗紀元之日，推上元甲子，四千五百餘年， 以時考之，不近不遠；以術言之，不淺不迂矣。〈四分曆仲紀之 元起孝文帝後元三年〉
總論七政之運行
奚？自混元之初，七政運行，歲序變易，有象可占，有數 可推，由是曆數生焉。夫日月星辰，有形而運乎上者 也；四時六氣，無形而運乎下者也。一有一無，不相為 侔，然而二者實相檢狎，以成歲功。蓋「日窮於次，月窮 於紀，星回於天，此有形之運於上而成歲者也。五日 為候，三候為氣，六氣為時，四時為歲，此無形之運於」 下而成歲者也。「混元之初，日月如合璧，五星如連珠， 自此運行，迨今未嘗復會，如合璧連珠者，何也？蓋七 政之行，遲速不同，故其復會也甚難。」日之行天也，一 歲而一周；月之行天也，一月而一周；歲星之周也，常 以十二年。〈世俗以年為歲蓋本於此〉「鎮星之周也以二十八年，熒 惑之周也以二年。惟太白、辰星附日而行，或速則先 日，或遲則後日。速而先日昏見西方，遲而後日晨見 東方。要之周天僅與日同，故亦歲一周天焉。」夫惟七 政之行不齊如此，此其所以難合也。世之觀漢史者， 見其論《太初曆》之密，日月如合璧，五星如連珠，而遂 以謂五星會於太初之「元年。」殊不知此乃論《太初曆》 之周密，推而上至於混元之初，其數之精，無有餘分， 故有是言。在太初之年，實未嘗如合璧、如連珠也。何 以言之？五星之會，常從鎮星，五星之行，鎮星最遲，故 諸星從之而會。以曆攷之，漢高祖之元年，五星聚於 東井，蓋鶉首之次也。自高祖元年至太初元年，凡百 有年也。鎮星二十八年而一周，當是之時，鎮之周天， 蓋已三周，而復行半周有餘，凡八次矣。進在元枵之 次，安得有「日月如合璧，五星如連珠」，起於牽牛之初 乎？〈牽牛星紀之次也〉
太初曆元不同
《史記曆書》載武帝改太初曆之詔曰：「十一月甲子朔 旦冬至。其更以元封七年為太初元年，年名閼逢攝 提格，月名畢聚，日得甲子夜半朔旦冬至。」夫閼逢者 甲也，攝提格者，寅也，是以太初元年為甲寅年也。故 《史記曆衍甲子篇》以太初元年為甲寅，又五年，天漢 元年也，為戊午；又五年，太始元年也，為壬戊。自此順 「數周六十餘年，皆以漢家年號紀之」，是太初元年為 甲寅，曉然矣。又按《東漢志》：「漢安二年，宗訢等建議，以 為漢興元年，歲在乙未。又四十五年，文帝後元三年 也，歲在庚辰。又五十八年，武帝太初元年也，歲在丁 丑。」今攷之《通鑑編年》，高祖即位之年以乙未，文帝後 三年以庚辰，武帝太初元年以丁丑，與宗訢之議脗 合。而劉孝孫《勘日度之議》亦曰：武帝太初元年丁丑。 然則《范志》所謂太初曆元用丁丑，即以太初元年為 元也，非推上古之元也。太史公所紀武帝之詔曰：「其 更以元封七年為太初元年，年名閼逢攝提格。」是推 上古之元，得甲寅之歲。其歲十一月甲子朔旦冬至， 日月如合璧，五星如連珠，故武帝時以太古甲寅歲 為起曆之元也。故曰「其更以元封七年為太初元年」， 猶言以七年為上古甲寅之歲也。上古太初應合璧 連珠之瑞，今以《太初紀年》元起丁丑，亦與甲寅同耳， 非元封七年即甲寅也。然則太史公《曆衍甲子篇》以 古初甲寅為元順紀六十餘年大餘、小餘之數，此其 起曆之數，此其起曆之術也。後人不悟太初元年年 號，依古初之意，即以太初、天漢、太始年號分配年名 之下者，非也。太史出於武帝時，安能預知六十年後 年號，而先書於曆術年名之下哉？此必後人增益之 無疑也。唐一行《日度議》引《洪範傳》曰：「曆始於顓帝上 元太始閼逢攝提格之歲，畢聚之月，朔日己巳立春， 七曜俱在營室五度」是也。觀此則知上元太始，猶言 上元太初也。《顓帝曆》以甲寅為元，故漢曆亦以顓帝 之元為元也。又曰：「漢《太初曆》元起丁丑，秦《顓帝曆》，元 起乙卯。」推而上之，皆不值甲寅，猶以日月五緯復得 上元星度，故命閼逢、攝提格之歲，而實非甲寅也。觀 此言，則又知曆書曰「年名」閼逢攝提格者，以甲子朔 旦冬至而為起曆之元，故名之以甲寅云耳。未必日 月合璧，五星連珠，正當顓帝甲寅年也。劉歆《三統曆》 進太初前一世得五星，會庚戌之歲以為上元，顓帝 元用乙卯，《洪範傳》云用甲寅，又何也？太史公《曆術甲 子篇》有天漢、正和等年號，在劉歆《三統曆譜》則有之， 此必後人以此《曆譜》附入《太史公曆術》也。
===冬至周復不同===《東漢志》曰：「律首黃鐘，曆始冬至，月先建子，時平夜半。 當漢高皇帝受命之四十九歲，歲在上章，陰在執徐。」 〈文帝後元三年庚辰年也〉冬十一月甲子夜半朔旦冬至，日月閏 積，皆自此始。立元正朔，謂之《漢曆》。此章帝《四分曆》元， 自文帝後元三年始也。夫後元三年正太初元年，凡 五十八歲，而十一月甲子夜半朔旦冬至，已至於再， 豈一甲子周則復得此數耶？賈逵議曰：「七十二歲，復 十一月合朔冬至，或為八十歲，則一甲子冬至。」〈賈逵議見 東漢志〉今考之，《范志》曰：「至朔同在日首，謂之蔀。」夫十九 年得一章，四章為蔀，合七十六年也。日首者，甲子日 為六甲之首也。冬至之日與朔日同是甲子則為蔀， 所謂十一月甲子夜半朔旦冬至是也。何為有五十 八年，有七十一年，有七十六年，有八十年之異耶？按 《班志》曰：「乃以前曆上元太初四千六百。至於元封七 年，復」得《閼逢》攝提格之歲，仲冬十一月甲子朔旦冬 至，日月在建星。孟康注曰：「古以建星為宿，今以牽牛 為宿。」觀此言，則仲冬甲子朔旦冬至，乃上元太初甲 寅年也，非武帝元封七年也。
五星約法
《晉志》云：「姜岌所造《甲子元曆》，五星據出見以為正，不 繫於元本。」然則算步究於元初，約法施於今用，曲求 其處，則各有宜，故作者兩設其法也。嘗因姜岌之說 而求之諸志，論五星行度與小周、大周之數，遲留逆 順之率，令人目眩而心不領，皆由元法積數千萬之 遠，故五星小周、大周積算亦無窮盡也。有能得其約 法，斯可以指諸掌矣。
曆必更改乃善
漢「《太初曆》必求上元甲子，日月如合璧，五星如連珠， 推之千歲以前，以為曆始。」至唐士蒍始變其術。至五 代司天監馬重績造《符天曆》，乃不復推古冬至、上元 甲子，而以天寶十四載乙未為上元，雨水為歲首。自 後曆每易差，不可傳之，則又變之過也。
歲差〈七則〉
按堯時冬至，日在虛昏中昴；月令冬至，日在斗昏中 壁。而中星古今不同者，蓋天有三百六十五度四分 度之一，歲有三百六十五日四分日之一，天度四分 之一而有餘，歲日四分之一而不足。故天度常平運 而舒，日運常內轉而縮，天漸差而西，歲漸差而東，此 即歲差之由。唐一行所謂歲差者，日與黃道俱差者 是也。古曆簡易，未立差法，但隨時占候修改，以與天 合。至東晉虞喜始以天為天，以歲為歲，乃立差法以 追其變，約以五十年而退一度。何承天以為大過，乃 倍其年，而又反不及。至隋劉焯取二家中數為七十 五年，葢為近之。〈書說〉 南朝宋武帝永初元年，改《泰始曆》為《永初曆》。文帝元 嘉二十二年，何承天撰《元嘉新曆》。刻漏改「二十五箭， 以月食之衝知日所在。又以中星驗之，知堯時冬至 日須女十度，今在斗十七度。又測景以校二至，差三 日有餘，知今之南至日度，在斗十三四度。」於是更立 新法，冬至徙上，三日五時，日之所在移四度，又有遲 「疾。前曆合朔，月食不在朔朢。今晉以盈縮定其小餘， 以正朔、朢之日。」詔付外詳之。太史令錢樂之等奏：「皆 如承天所上。推月，頻三大，頻二小，比舊法殊為乖異， 謂宜仍舊。」詔可。〈何承天曆〉
疏曰：「凡曆數所起，謂之演紀之端。」皇甫謐曰：「帝堯以 甲辰之歲即帝位，《皇極經世》所載亦然。凡在位七十 年，四十一年而得甲子，即以為演紀之端。」是年天正 冬至，日在虛一度，以紀元曆步之一萬分、度之百二 十八，為一歲之差，凡七十八年，日差一度。自帝堯演 紀之端至漢太初元年丁丑，積二千一百九十四年， 「日差二十七度八千二百七十二分。至唐開元甲子， 積三千一年，日差凡三十八度四千一百二十八分。 至宋朝乾德甲子，積三千二百四十一年，日差凡四 十一度四千八百四十八分。至慶曆甲申，積三千三 百二十一年，日差凡四十二度五千八十八分。至紹 興甲子，積三千四百二十一年，日差」凡四十三度七 千八百八十八分。若不存演紀之端，則積分計差之 法，何所從始？此所以只依《堯典》中星，而著演紀之端 也。
劉炫依《大明曆》，四十五年日差一度，則冬至日在虛、 危，而夏至火巳過中，與日永星火之說不合矣。梁武 帝據《虞𠠎曆》，百八十餘年差一度，則唐、虞之際日在 斗牛間，而冬至昴尚未中，與日短星昴之說不合矣。 王孝通謂「歲差若自昴至壁。」〈隔二宿也〉則堯前七千餘年， 冬至日不在斗建而在東井，不應寒暑，易其位也。〈孝通 謂日與黃道俱差一行非之〉故李淳風謂「古曆冬至皆起建星」，今 測建星正在斗十三四度。
一行以淳風《麟德曆》校之，太初、永平百年間，氣當後二日半，朔當後天半日，烏得謂之無差也？
《呂不韋春秋》。〈月令〉謂「黃帝仲春乙卯日在奎」，至今三千
餘年，而春分亦在奎考證
一行謂「《月令》若可謂正，則立春正在營室五度，淳風安得頻移在啟蟄之節耶？」
觀諸家之言，並不取歲差之說，而一行皆非之，故其 立論曰：「古曆日有常度，天周為歲終，故繫度於氣節。 其法似是而非，故久而益差。」虞喜覺之，使天為天，歲 為歲，乃立差以追其變，使五十年退一度。何承天以 為太過，乃倍其半而反不及。劉焯取二家中數為七 十五年，蓋近之矣。觀一行之言，歲差之法以劉焯《皇 極曆》為主，所以并非諸家之說也。《太初曆》謂冬至日 在牽牛初，賈逵謂在斗十八度。晉武帝太始三年冬 至日在斗十六度。晉用魏《景初曆》，宋用元嘉《何承天 曆》，其冬至皆在斗二十一度，所以不能無進退之差 也。
自漢改曆之初，洛下閎謂「八百年後當差一度。」然當 時史官攷諸中星，知《太初曆》巳差五度，而閎不知察。 蓋古之為曆，未知有歲差之法。其論冬至日躔之宿， 一定不移，而不知今歲之日躔在冬至者，視去歲冬 至之日躔常有不及之分。至晉虞喜始覺其差，遂立 歲差之法，以五十年日退一度，然失之太過。宋何承 天培增其數，以百年退一度，又反不及。至隋劉焯取 二家中數，以七十五年退一度，較之二家之曆，雖為 差近，亦未甚密。故唐一行復以《大衍》之法推之，乃得 八十三年而差一度。自唐以來，曆家皆宗其法，迄於 今日，又不若《統天曆》之為漸密也。《大衍》立法，謂「日躔 於一歲之間，行周天度，未遍於分而日已至，為每歲 若有不及之分，故一度為三千四十分。其所差之分， 一歲三十有六太，積而至於八十三年，則差一度矣， 然猶未也。」攷古驗今，其實七十九年而退一度，故是 堯時之日在虛一度。自是而降，漸退在女，又過在斗， 自牽牛而退在斗。二十六。歷斗二十五，迤𨓦而退，則 在建星矣。知歲差之法，則知古今之中星不同，可坐 而判。或者不知歲差之法，每以《堯典》校之《月令》，至於 今日，不啻差一次矣，求其說而未得，遂謂節氣有初 中之殊，又謂古以午為中，今以未為中，是皆自欺之 說，固不足信。蓋嘗攷諸經史，自堯以來至於宋朝，冬 至日躔各自不同，然後知歲差之法固不可廢。《大衍 曆》推帝堯演紀之端，日在虛一度，則鳥、火、虛、昴，皆以 仲月昏中，合於《堯典》。考諸堯時日之所在，冬至任虛 一度，夏至在柳十四度，春分在胃十二度，秋分在氐 十度。至唐《開元大衍曆》，冬至日在斗十度，夏至在井 十六度，春分在奎七度，秋分在軫十四度。今之《統元 曆》，冬至在斗二度，夏至在井十八度，春分在奎初度， 秋分在軫七度。自冬至之日，黃道至斗為極南。黃道 極南之所，出辰入申，故日亦出辰入申。又漸退而北 行，至於春分，正當黃赤道之交，出卯入酉，故日亦出 卯入酉。進而至夏，至黃道至井而極北。黃道極北之 所，出寅入戌，故日亦出寅入戌。自夏至後，日漸退而 至於秋分，復當黃赤道之交，出卯入酉，故日亦出卯 入酉。又退而至於冬至，復如初之極於南矣。日之出 入也，北而復南。南而復北者，黃道之勢使然也。故《太 元經》曰：「日一北而萬物生，一南而萬物死。」正謂是矣。 〈渾儀略議〉裴冑之問董生曰：「日常右轉，星常左轉，大凡不 滿三萬年，日行周二十八舍三百六十五度。然必有 差，約八十年差一度。自漢文帝三年甲子冬至日，在 斗二十二度，至唐興元元年甲子冬至日，在斗九度， 九百六十一年差十三度矣。」〈唐李肇國史補〉
疏曰：「先儒論《堯典》中星，多牽合《月令》，《月令》乃呂不韋 以秦曆增損周公時訓而為之者也。大抵季月中星 與仲月中星多合，蓋其歲差使然爾。歲差之說，有以 四十五年差一度者，宋《大明曆》是也。有以百八十六 年差一度者，梁《虞𠠎曆》是也。有以百八十三年差一 度者，梁祖沖之《大同曆》是也。有以八十四年差一度」 者，唐開元之《大衍曆》是也。虞喜謂五十年差一度，何 承天謂百年差一度，皆未得其實。宋朝《紀元曆》以七 十八年差一度，最為密率。《唐志》有云：「考古史及日官 候簿，以通法計之，三千四十分、度之三十九太為一 歲之差。」蓋亦七十八年而差一度也。《崇天曆》慶曆甲 申冬至，日在斗五度。以歲差之法推而上之，自慶曆 甲申去唐開元甲子，凡三百二十一年，日差五度。故 《唐志》云「開元甲子，日在赤道斗十度」是也。又推而上 之，自開元甲子至漢太初元年丁丑，凡八百二十七 年，日差十度。故《唐志》云：以《開元大衍曆》歲差引而退 之，則太初元年冬至日在斗二十度是也。其《太初曆》 云「日在牽牛初」，為術疏矣。自太初丁丑推而上之，去 秦莊襄王元年，一百四十五年，日差二度，冬至日當 在斗二十二度，故《月會》云「日在斗」也。自秦莊襄王元 年推而上之，去堯之甲子，凡二千二十八年，日差二 十六度，冬至日當在虛一度，日沒而昴中，故《堯典》云 「日短星昴」是也。蓋《月令》之中星，不宗《堯典》，固已用歲 差之法。自漢以來，迄於晉、唐，諸儒皆以日在斗牛，互 為膠柱之說，雖曆家亦不悟其非。至宋、梁以來，曆家雖論其差，儒者猶未深察。故唐臣疏《月令》中星，參以 《堯典》，謂七星畢見。果然，則中星之度數不必考，而玉 衡為無用也。至宋朝命儒臣修《唐志》，而歲差之法始 明矣。然先儒言日至所在星度，多舉冬至為例，此獨 舉仲夏中星者，愚於《月令》「仲冬中星」有疑，故闕之。
斗分不同〈三則〉
《商曆》以四分一為斗分，《三統》以一千五百三十九分 之三百八十五為斗分，《乾象》以五百八十九分之一 百四十五為斗分，《景初》以一千八百四十三分四百 五十五為斗分，疏密不同，法數各異。姜岌曰：「《殷曆》斗 分麤，故不施於今；《乾象》斗分細，故不通於古。《景初》雖 在麤細之中，而日之所在，乃差四度。夫劉洪、蔡邕之」 作《乾象曆》，以四分曆斗分太多故也。於是更為新率 而降殺焉。是後韓翊作《黃初曆》，以為乾象減斗分太 過，後當先天，而姜岌猶言乾象斗分之細，何也？嘗觀 梁武帝天監中，祖暅奏曰：「先臣在晉沖之仰尋黃帝， 至今十二代，曆元不同，周天斗分，疏密亦異，當代用 之，各垂一法。是知曆不同則斗分不」得不異也。用他 權度而較他人之物，其輕重長短，彼是不齊矣。夫古 人所以注意於斗分之疏密者，日月初躔，星辰之紀 也。日月合朔於斗，以紀一歲之星辰。一陽生於此，萬 物萌於此，律曆起於此也。《甄耀度》及《魯曆》，南方有狼 弧而無東井，北方有建星而無南斗者，二十八宿，周 天之度，惟斗、井二宿其度最多，故《月令》「昏弧旦建」，指 以為的，而正昏明也。後世作曆書者，必於斗分而加 詳焉，亦此意耳。
《晉志》曰：「靈帝光和中，洪攷古今曆法，言其進退之行， 知四分曆疏闊，更以五百八十九為紀法，一百四十 五分為斗分，而造乾象曆。冬至日在斗二十二度，以 術追日月五星之行，依《易》立數，名為乾象曆。又制日 行、月行黃道、赤道之度，法轉精密矣。獻帝建安中，鄭 元受其法，又加注釋焉。自黃初後，改曆者皆斟酌乾 象洪術，遂為後代推步之表。」此劉洪《乾象曆》也。
宋何承天曰：「四分於天出三百年而盈一日，積世不悟。劉歆《三統》又疏闊，方於四分，六千餘年又益一日。揚雄心惑其說，采為太元。班固謂之最密，著於《漢志》。」
魏文帝黃初中，高堂隆議曆數改革。韓翊以為《乾象》 減斗分太過，後當先天。造《黃初曆》，以四千八百八十 三為統法，千二百五為斗分。其後陳群奏：「翊首建恐 不審，故以《乾象》互相參校，更相是非，無時而決。」徐岳 議：「劉洪以曆後天加《太初元》、十二紀，減十斗下分，元 起己丑，實精密，可長行。」今翊所造，皆用洪法，小益斗 下分，所錯無幾。岳課日「月蝕五事，乾象四遠，《黃初》一 近。」翊術自疏。又楊偉言韓翊據劉洪之術，知貴其術 而棄其論。至明帝景初元年，楊偉改造《景初曆》，欲以 大呂之月為歲首，建子之月為曆初，遂以建丑之月 為正，改其年三月為孟夏。三年正月，復用夏正。
晉姜岌曰：「古曆斗分強，不可施於今；乾象斗分細，不可通於古；《景初》雖得其中，而日之所在，乃差四度，合朔虧盈，皆不及其次。」 唐一行曰：「韓翊、楊偉更造新術，而皆依讖緯，三百歲改憲之文。攷經之合朔多中，校傳之南至則否。」 《說齋》曰：「翊創於前，偉繼於後，咸遵劉洪之議，未及洪之深妙。蓋二曆皆寫子模母，終不過」 洪之術也。
蜀仍漢《四分曆》，吳王蕃以劉洪術制《儀象》及論，故吳 用乾象曆。此魏《黃初》《景初曆》也。
歲朔
《東漢志》曰：「日月謂之合朔，日月相去，近一遠三謂之 弦。日月相與為衡，分天之中謂之朢，以月及日，光盡 體伏謂之晦。天一晝夜而運過，星從天而西，日違天 而東，日行與天運周，在天成度，在曆成日，日周於天， 四時備成，攝提遷次，青龍移辰謂之歲。歲首至也，月 首朔也。至朔同日謂之章，至朔同在日首謂之蔀，蔀」 終六旬謂之「紀」，歲朔又復謂之「元。」
論晦朔弦朢
「夫天運一周，日移一度，月移十三度十九分度之七， 日舒月速，當其同謂之合朔。舒先速後，近一遠三謂 之弦，相與為衡，分天之中謂之朢，以速及舒，光盡體 伏，謂之晦。凡一十二晦朔，而歲成焉。」張衡《靈憲》曰：「日 譬則火，月譬則水，火則外光，水則含景。故月光生於 日之所照，魄生於日之所蔽，當日則光盈，就日則光」 盡也。《皇極外書》言：「月本黑，受日之光而白。」與《靈憲》之 說合矣。此所以有晦朔也。星家於諸緯行度皆能著 曆，惟月行最速，未及八刻移一度不可著曆。其為算 法積分成度，求之久遠，易致差謬。欲明其要，不若求 之晦朔日之所次，則月之所會也。自朔日計之，每日 行十三度十九分度之七，至晦又求之會，則弦朢所 次，皆可得而推，雖不中不遠矣。日月之行，皆有盈縮。 日盈月縮，則後中而朔；月盈日縮，則先中而朔。故曰
「雖不中不遠」矣。日月之會，是為十二次。十二次之所考證會，則十二朔之所紀。十二晦朔，雖曰成歲，常有餘分。
蓋日行三百五十六日有二十五刻而周天，月行二 十九日有五十三刻，強而與日會，凡三百五十四日 有三十七刻，而十二晦朔終矣。每歲餘十日有八十 八刻，三歲餘三十二日有六十四刻，而置閏受二十 九日有五十三刻，尚餘三百有十一刻。通十九歲計 之，共餘二百六日有七十二刻。凡置七閏，受二百六 日有七十一刻，乃無餘分。故揚雄《太元》十九歲為一 章。一章者，閏分盡也。按六曆諸緯，與《周髀》云日月同 起於端度，日舒月速，凡日行十九周，月行二百五十 四周，而復會子端，是為一章。後漢制曰：「閏七而受其 歲十九，名之曰章」是也。四章為蔀。蔡邕《月令章句》曰： 「七十六年為蔀首」是也。二十蔀曰紀，紀法一千五百 二十年三紀為元。《韓子》曰：「四千五百六十歲為元」是 也。此所以書十二次以求月之晦朔而歲成也。 夫日舒而月速。其相會也以速而及舒。月之會日。常 以二十九日半強而相及。〈半強謂四百四十九分也〉「蓋月行速而 日行遲故也。是故一歲之周，凡十有二會焉。以其序 而言之，十有一月會於星紀之次，十有二月會於元 枵，正月會訾娵，二月會降婁，三月大梁，四月實沈，五 月鶉首，六月鶉火，七月鶉尾，八月壽星，九月大火，十 月析木。夫會則為晦，晦而復蘇，明於是乎生焉，是之 謂朔。月之行速，漸遠於日，以周天言之，其近日也九 十一度有奇，其遠於日也二百七十四度有奇，是之 謂近一遠三謂之弦。」此蓋謂上弦也。其行上遠，而與 日對，去日百八十二度六十二分有奇，是之謂「相與 為衡，分天之中為之朢。蓋日與月相朢故也。其行過 中，遠於日也二百七十四度有奇，其近日也九十一 度有奇，亦謂之近一遠三」謂之弦，此蓋下弦也。上弦 在於八日，下弦在於二十二日，朢在於十五日，此其 常也。上弦或進則在七日，或退則在九日，下弦或進 則在二十一日，或退則在二十三日，朢或進則在十 四日，或退則在十六日，此皆其變也。
平朔定朔不同
「平朔」 者，月大月小相間，不必以日月會為朔也。「定朔」 者，或二小，或三大，當以日月會之日為朔，多主定朔。
朔為朝會之首，氣為生長之端。朔有告餼之文，氣有 郊迎之典。故孔子命曆，以定朔旦冬至，以為將來之 範。此《隋志》定朔之言之意也。然《春秋》日食三十五，書 朔者二十七，其不書朔者八。《左傳》云：「不書朔，官失之 也。」《公羊傳》云：「不言朔者，食二日也。」〈初二日也〉《穀梁傳》云：「不 言朔者，食晦也。」〈非二十九即三十也〉夫日與月會則多食。日食 於朔，則朔日為有定矣。不食於朔而食於晦，或食於 二日者，此由月法拘於一大一小相間，廁之小數而 不能定其會朔之日，故朔在晦或在二日也。《左氏》受 經於夫子，所以言「不書朔，官失之」者宜也。《公》《穀》之說 皆非矣。
不書朔，見隱三年二月，莊十八年三月，僖十二年三月，又僖十五年五月，又襄十五年八月。
劉孝孫以《甲子元曆》推算，其食俱在朔日，則是《春秋》 之法，主定朔，非平朔明矣。《詩》曰：「朔日辛卯，日有食之。」 此定朔之證也。何承天亦嘗主定朔之說，而虞𠠎之 言亦曰：「躔次既同，何患乎頻大？日月相離，何患乎頻 小也？」傅仁均主定朔之說，以為三年正月朢及二月 八月朔，日月相蝕而不驗。王孝通詰之曰：「定朔會合」 雖定，而《蔀元紀》首三端並失之矣。李淳風主王孝通， 劉孝孫主傅仁均，更相出入，無有定議。一行曰：「合朔 先天，則經書日食以糾之；中氣後天，則傳書南至以 明之。其在晦與二日，則原乎定朔以約之。」一行蓋取 《左傳》「官失之」之言，而申明定朔之有驗也。古人議曆 法之不正，必曰日不食朔，月不食朢。作曆法必以定 朔為正而已。王孝通所謂《蔀元紀》首三端與定朔不 合，此又在乎巧曆者損益進退之也。無以傅仁均推 日食不驗，而遽更成法也。
太初閏餘
周天三百六十五度四分度之一日，一歲而周天，月 一月而周天。以算法推之，則一月之日止得二十九 日半強，是日之行也，一月止行二十九度半強。總一 年計之，止行三百五十五度有奇，尚餘十一度有奇 也。《算法》曰：「一月之日二十九日。」又曰：「八十一分。」日之 四十三者，分一日為八十一分也。日雖西下未全黑， 「日未東升已先明，故夜得三十八分，是為半日強」也。 日一月而行二十九度半強，則十二月計三百五十 五度餘也。每月餘半日弱，則十二月餘六日弱，即月 有六大六小之分也。一年而餘六日弱，為閏餘。又六 旬之外有五日又四分日之一，是又得五日強也。六 日弱與五日強，一年共餘十一日有奇也。五年共餘 六十日，為兩閏月。月有一小一大，又餘一日強，而附 合為一章，七閏之數也。月之行也，一月而周天。以 算法推之，則二十七日強，而月已周天。總一年計之三百二十四日以上，已周天三百六十五度有奇，其 餘三十日之度，猶未計也。《算法》曰：「月一日行一十三 度十九分度之七。夫一」日而行一十三度有奇，則二 十七日強，已得三百五十五度也。一月計二十九度 半強，而月行止二十七日有奇，則尚餘二日半強也。 一月而餘二日半強，則十二月共餘三十日有奇也。 一日為一度，一度凡計幾分，則三十度之積分可知 矣。三年一閏，五年再閏，以日之餘合月之餘而成之 也。《曆法》曰：「以小餘加大餘，則知月之小大。」意其然也。
大餘小餘
太史公《曆書》曰：「大餘，日也；小餘，月也。」攷之曆書與諸 史曆志，大餘未有盈六十之數，則知其為甲子之日 也。日不盈甲子之數，則為大餘也，故大餘日也。《書志》 凡曰小餘，少則七八，多則數百，或有至於千餘者，何 也？太史公所謂小餘者，月，豈以積年所餘之月而計 之耶？豈以一年之中，月周天所行之度積分而計之 耶？凡一年之中，必曰「大餘五十，小餘六百」，又曰「大餘 十三，小餘二十」，凡此等類，所以重言之者，又何意也？ 豈未合朔未置閏，則所餘計若干多；已合朔已置閏， 則所餘計若干少耶？按《東漢志》宗訢議曰：「百七十歲， 小餘六十三，自然之數也。」夫一章計十九年，九章計 百七十年也。一章凡七閏，九章則六十三閏，百七十 年之中有六十三閏月。此正與太史公「小餘者月」之 說同。又按班固志張壽王言：「《太初曆》虧四分月之三， 去小餘一百五分，以故陰陽不調。」又按劉焯《算術》曰： 「凡日不全為餘。」一行《大衍算法》曰：「凡分為小餘。」則知 小餘謂之餘分亦可也。大抵諸曆法大餘皆以一甲 子之日計之，其小餘或為月，或為分，皆以一月之中 所餘之日之分積算之耳。又《元法》、紀法、日紀所主之 數不同，故小餘說亦不同也。其太史公重言大餘、小 餘之數者，此乃《太初曆法》，而他曆皆不然，故不容旁 引曲說也。〈史記大餘月也小餘日之奇分也註以小餘為月考索又以月釋之皆誤矣〉
日月度法
《書蔡氏傳》「四分之一。」史書曰：「日法四分日之一，便是 天度四分度之一」，蓋在天為度，在曆為日故也。九百 四十分日之二百三十五，日法有四分日之一，又有 九百四十分日之二百三十五，其實一也。蓋四箇二 百三十五，恰好是九百四十，故二百三十五便是九 百四十四分之一也。月一日不及日十三度十九分 「度之七；日法有九百四十分，而月一日不及日十三 度十九分度之七。」大抵日法九百四十分之七十六， 月不及日一度；日法之四分，月不及日十九分度之 七分，故七十六分月不及日一度，七百六十分不及 十度，又一百五十二分不及二度。七百六十與一百 五十二，共是九百十二。九百四十除「九百十二有二 十八分，在四七二十八恰好退得十九分度之七，無 欠無餘。月一日不及天十三度十九分度之七，是月 一日實行三百五十一度七十六分度之六十七也。 月二十九日九百四十分日之四百九十九而與日 會，月一日不及日十三度十九分度之七，二十九日 當得全度三百四十」八餘分之積，又得二百單三分。 如月法十九而一度百九十分得十度。不盡十三分， 通前共得三百五十八度。十九分度之十三，又有九 百四十分日之四百九十九未算。大抵天有四分度 之一，月有十九分度之七。以四乘十九，是七十六則 九百四十分日之四分，月不及日。十九分度之一分， 九百四十分日之七十六，月不及日一度。此四百九 十九分，每以七十六分，月退一度，得一度不盡四十 三分。及於此四十三分內，先除十九分還天度四分 度之一外，又有二十四分在六四二十四月，又不及 日十九分度之六分。以此六度六分，合前三百五十 八度十三分，共是三百六十五度，加以先除四分度 之一，則「無欠無餘」矣。〈零分十三與六共成十九恰好湊成一度全〉
氣朔分齊
「十有九歲。七閏則氣朔分齊，是為一章。」按十九全數， 共計六千九百三十九日九百四十分日之七百單 五於內，除六千七百三十三日九百四十分日之三 十二還十九年省數外，其餘恰有二百六日九百四 十分日之六百七十三，當有十九年所閏之數，無欠 無餘。蓋每年月與日十二會通得三百五十四日九 百四十分日之三百四十八，合十九年計之，共是六 千七百三十三日九百四十分日之三十二，此即「十 九」之省數也。每年當閏十日九百四十分日之八百 二十，七十九年當得全日一百九十餘分之積，又一 萬五千七百一十三。如日法九百四十而一，得一十 有六。不盡六百七十三，通計得日二百單六，九百四 十分日之六百七十三。〈二百六日零六百七十三恰好是七箇二十九日零四百 九十九分成七箇閏〉此即十九年所閏之數也，合此二數滿，得 十九年之全數，即「氣朔之分齊」矣。
又按一歲十二月，則十九歲凡當有二百二十八箇 月，今十九歲之間，月乃與日二百三十五會多，此七會，非閏而何？但若以氣論之，則一月二氣，一年二十 四氣，十九年當有四百五十六氣，十九年雖則有二 百三十五會，其實只有四百五十六氣，恰好是十九 箇二十四氣，則分齊之實，又可見矣。
月道
按《漢志》，月有九行者，黑道二，出黃道北；赤道二，出黃 道南；白道二，出黃道西；青道二，出黃道東。以月道出 入黃道，故謂之九道一行。考月行出入黃道，為圖三 十六，宄九道之增損，作《大衍曆》。《五代司天考》載王朴 明九道以步月，作《欽天曆》，曰：「九道者，月軌也。其半在 黃道內，半在黃道外，去極遠六度。出黃道謂之正交， 入黃道謂之中交」，自古雖有九道之說，蓋亦知而未 詳，徒有祖述之文，而無推步之用。今以黃道一周分 為八節，一節之中分為九道，盡七十二道，而使日月 無所隱其邪正之勢焉。蓋月之出入黃道，時異而日 不同，非渾天所能述，要之，極遠不過六度，則大數可 知矣。
月道陰曆陽曆
《班志》曰：「陽曆者，先朔而月生；陰曆者，後朔而月生。」一 行曰日道表曰陽曆，其裡曰陰曆。夫朔而後月生，所 謂三日哉生明，月之三日為朏是也。先朔之月為晦， 今而日月生何也？按鄧平等法，一月之日，止於二十 九日半強，是一月猶餘半日弱也。其曰先朔月生，後 朔月生，此必半日之間，合朔有遲速，故月生有先後。 「藉之以曆，明之曰陽曰陰也。又不然，則《太初曆》猶用 平朔而未用定朔也。一行所謂日道表為陽曆，裡為 陰曆者，此以日道為主，而配驗月道之交，有表有裡， 故曆之名亦曰陽曰陰也。」一行《九道議》曰：「陰陽曆交， 或在四立，或在分至，所交並同，而出入之行異。蓋九 道者，月道也。青道二，朱道二，白道二」，黑道二，八行兼 黃道而為九也。曰「陰陽曆交」者，月道自裡而交於日 道之表，或自表而交於日道之裡，故曰《陰陽交曆》也。 日所交則同，而出入之行異者，以月道交日道，春分 與秋分同，冬至與夏至同，其於四立也亦然。特其所 以不同者，黃道居中，月道或出其東而入其西，或入 其北而出其南也。所謂「東交於角，西交於奎」是也。又 有朔交、朢交者，朔交為初交，朢交為中交也，皆視陰 陽曆而正其行也。然則《陰陽曆》之名，正為日月之會， 朔朢之交設耳。青赤為陽，白黑為陰，陰為裡，陽為表， 九歲而一終，謂之九道，百七年而小終，八十一章而 九終。
論大衍曆
一行倚大衍之數，立推步之法，是一行求合於大衍 者也，非大衍合一行之數也。大衍之數無窮，倚此數， 立此法，庶乎其有所據依，亦猶《太初》以律起曆之意 也。一行曆本議曰：「天數五，地數五，五位相得而各有 合，所以成變化而行鬼神也。」此《易繫》之文，一行舉以 為議曆之本葢，其意所主，在乎「『五位相得而各有合』 之一言，是以推而廣之，無往而不合也。」歐陽修《志唐 曆》曰：「曆起於數。數者，自然之用也。其用無窮，而無所 不通，以之於律於《易》，皆可合也。」是亦一行之意歟？雖 然，一行亦豈能外諸曆家之法，而獨推大衍而為法 歟？一行變諸家之法之名，而從大衍之數也。諸曆雖 不倚大衍以立法，而其中亦有與大衍暗合之道矣。 一行之言曰：「天數始於一，地數始於二」，此即《易繫》天 一地二之說，諸曆之所同用也。所謂「天數中於五，地 數中於六」，為二中，此即班固志五六者天地之中合 之說也。所謂「天數終於九，地數終於十」，為二終，此即 《班志》十九年為章，合天地終數得閏法之說也。所謂 「天有五音，所以司日」；地有六律，所以司辰。此即揚子 雲「聲生於日，律生於辰」之說也。此其與詣家之說同 者如是也。自一而降，為五行生數；自六以往，為五行 成數。一六而退極，五十而增極。〈中極居五六之間故六退極五增極也〉 一六為「爻位」之統，五十為《大衍》之母。
大衍之說五十，或者以為五為十者，一生而六成之，一與六合，所以為爻位之統，五生而十成之，五與十合，所以五與十為大衍之母也。又曰：「五至十則六七八九在其中間矣。大衍之數五十，而六為太陰，七為少陽，八為少陰，九為老陽，皆是五十之數之揲也。故曰：五十，大衍之母也。自一至六則二三四五在其中」 間、即六爻之數也，故曰「一、六爻、位之統也。」
成數乘生數，其算六百，為「天中之積。」
成數六七八九十，生數一二三四五，成數共成四十也，生數共為十五也。以四十乘十五，則是四十箇十五，共得六百之數也。以十五乘四十，亦得六百之數也。
生數乘成數，其算亦六百，為地中之積，合千有二百， 以五十約之，則四象周六爻也。
千二百之數，五十箇二十四也，四六二十四四，象周六爻也。
以二十四約之，則太極包四十九用也。
千二百之數，亦得二十四箇五十也。虛一不用，太極包四十九用也。
綜生數，約中積，皆十五。
成數四十也。四十箇十五，則得中積六百之數，故曰：「成數約中。積者十五。」
綜成數，約中積，皆四十。
生數十五也，十五箇四十，亦得中積六百之數，故曰「生數約中積四十」 也。十五四十乘六百之數可也，復約之而歸於十五四十亦可也。
兼而推天地之數，以五位取之，復得二「中」之「合」也；
四十與十五，即五十五。天數二十五，地數三十，天地之數五十有五，與地合也。天之中數五，地之中數六也。五五二十五，五六三十，共成五十有五，故曰：「以五位取之，復得二中之合」 也。
著數之變，九六各一，《乾坤》之象也；
《乾》為九，九老陽，《坤》為六，六老陰，各居其一也。
七八各三，六子之象也。
七為少陽，震長男，坎中男，艮少男，凡三少陽也。八為少陰，巽長女，離中女，兌少女，凡三少陰也。
故「爻象通乎六十，策數行乎四百四十；是以大衍為 天地之樞，如環之無端。」此一行取以為起曆之法也。 其候卦則本乎《月令》。〈七十二候之卦也〉《日卦》則本乎《孟氏章 句》。〈十二卦主十二月復姤之頻也〉定朔則本乎劉孝孫、傅仁；均歲差 則本乎虞喜、何承天；更積法曰《演法》，變日法曰《通法》， 改周天曰乾實，此又一行變諸曆法之名，以從《大衍》 之類也。《唐志》曰：「自太初至麟德，曆有二十三家，與天 雖近而未密也。」至於《一行》，密矣，其倚數立法，固無以 易也。後世雖有改作，皆依倣而已。《唐志》之言誠是也， 特其知《大衍》之曆倚《易》數之法而不知其變。諸曆之 衍，以從大衍之數，是以表而出之。
大衍演天地之數
「以《大衍》起數者，自伏羲始；以《大衍》名曆者，自一行始。 夫衍者，演天地之數也。後世之曆，多以古律起，而一 行《大衍曆》，獨以《易》數起焉。」勾稽微秒，分積毫釐，蓋有 得於伏羲之遺畫，君子安可以疏議一行哉？今以《大 衍曆》觀之，「一六為爻位之統，五十為《大衍》之母。合二 始以位剛柔，所以明天一地二之數也；合二中以通 律呂，所以正天五地六之數也。合二終以紀閏餘，所 以窮天九地十之數也。以生乘成，吾於六百，而得天 中之積焉。以成乘生，吾又於六百，而得地中之積焉。 自一六至五六，一七至五七，一八至五八，一九至五 九，一十至五十，生成相乘，各有六百，吾又於是而得 千二百之算焉。」一行固非拘於數者葢。積黍之法可 行，而黍之小大則不可積；斷竹之制中倣，而孔之厚 薄則不可均；按尺之說可驗，而尺之長短則不可證。 又孰若以無形而御有形，以不物而制有物哉？吁，此 《大衍曆》起於《易》，所以為後世之精密者歟。不然，唐自 《太初》至麟德，凡二十三家，何以獨稱美於《大衍》乎？然 而大衍起算，亦不專於《易》也。蓋歲星得於虞喜，日食 衝於姜岌，定朔得於傅仁均，九道得於張子信，而「《演 紀》之端，日在虛一度」，又得於堯之甲子。此尤足以見 其通而不溺於術數也。
總論諸曆
西漢之曆，莫善於《太初》；東漢之曆，莫善於《四分》；由魏 至隋，莫善於《皇極》。在唐則《大衍》為善，在五代則《欽天》 為善。然其立法各有不同。《太初》以八十一為日法，《四 分》則用蔀月九百四十，《皇極》則用一千二百四十二， 《大衍》則用二千四十，《欽天》則用七千二百。其多寡之 異何耶？《太初》以三百八十五為斗分，四分則用章法 十九，《皇極》則用萬二千一十有六，《大衍》又以七百七 十九為虛分，《欽天》則一千八百八十四，其損增又如 此之異，何耶？《太初》諸曆則日為一法，度為一法，至《大 衍》又合日度為一法，《太初》諸曆則餘分置於斗分，至 《大衍》則餘分置於虛分。此又何耶？《太初》之曆本於鐘 律，以八十一分為統母，其數起於黃鐘之籥，而終漢 之曆號為最詳。《開元》之曆本乎《大衍》，以四十九分為 算，而終唐之世號為最密。是非所祖之多門，而為數 則同也。黃帝造曆，元起辛卯，高陽氏起乙卯，虞舜用 戊午。夏、商、周以三統改正朔，是非立元之多門，為數 則同也。漢靈帝時，劉洪作《乾象曆》，以五百八十九為 紀，四百四十五為斗分。魏文帝時，韓翊造《黃初曆》，以 四千八百八十三為紀法，千二百五為斗分。漢之曆 或八十一為法，魯之曆或以九百四十為算，是非倚 數之多門，而為數則一也。
自劉歆作《三統曆》，推《易》以合《春秋》，然後知作曆不可 無所本。自杜預序《長曆》，以為天運必有差，而後知用 曆之不可有所拘。秦、漢以來，古曆不傳，所存者自黃 帝至魯凡七家，其用於漢初，惟顓帝曆耳。然度數之 失，服色之乖，議者已非之，豈非法久則弊變而通，通
而久，固有所待耶？且《太初》之曆非不密也，然可行於考證武帝之時，至章帝則復失矣。四分之曆非不精也，然
可用於章帝之時，至百年而復差矣。唐高祖始用《大 衍曆》，至高宗之《麟德》則變，至中宗之《景龍》則又變，殆 明皇時，《大衍》用而景龍又廢矣，大衍之精密，宜可傳 遠也，未幾而復差，則為五紀，為正元，為《觀象》，為崇元， 又何其紛紛耶？葢隨時變通，正大易「革象」之義。宋朝 之曆，率二十年一差，又復訂正，其以是歟？
「天之高也，日月星辰之遠也，寒燠雨暘，氣數之不齊， 章蔀紀元，餘分之所積，以千百年計之，猶可運之掌 上；及其久也，有非巧之所能計者，此曆久則必差，勢 之所必至也。」治曆明時之君子，因其差之未遠，革而 正之，無難也。其或盡更前人之法而更復疏遠，其或 增損前人之舊而更加詆毀，則非矣。自昔黃帝以來， 「曆凡五十餘家，皆由氣朔躔度，或先天，或後天，微有 不應曆象，則曆法從而變。黃帝始調曆，顓帝為曆宗， 至漢則不能定疏密，漢人課之詳矣。」由漢以來，《太初 曆》法為第一，三統、四分、乾象或因革焉，而復在疏密 之間葢？三統則甚疏，而乾象則甚密也。乾象之曆，為 推步之師表，韓翊、楊偉咸遵其舊法，而不及深妙，翊 又復據其術而背其言。唐自《開元》《大衍》之曆行，算數 備悉，其後雖屢有變更，皆不外於一行之數，改曆者 又從而指其疏謬。不特此也，北齊文宣悅宋景業讖 緯之佞而改行《天寶曆》，隋高祖喜張賓、陳代謝之證 而改行《開皇曆》。上之人所以改曆者，悅喜諛佞，初不 為敬天授民而設也。劉孝孫曆法甚精，輒為劉暉所 抑；劉焯推占至詳，常不為張冑元所容。下之人所以 造曆者冒寵嗜利，初不揆其法之是非也。操是心以 往，其何以議曆為哉！是以知天道遠，曆法推測，不能 每事中程。其曰「日食不效，更考日度可也；其曰斗分 有差，更定密率可也；其曰五星疏遠，更驗星躔可也」； 其或一事不中程，乃盡更前人之法，大抵因其實而 實其名，異其所入之門，而同其所歸之極。如宋何承 天曆法，齊用之，則為《齊曆》，隋張賓用之，則為隋曆也。 如劉孝孫曆法，劉焯更名《七曜曆》，其後又更為《皇極 曆》也。一法而異用，一曆而數名，大抵然也。然則自古 迄今，五十餘曆，其立法之異者，《太初曆》本「於《律》，《大衍 曆》本於《易》」是也。其餘皆襲舊法而增損焉耳。
論作曆
漢之曆，大率百年而一變。唐之曆，大率四十年而一 變。近年以來，作曆委之星翁，曆家專政，故大率二十 年一變。由今而欲考新曆之異同，驗交蝕之得失，盍 亦委之儒者乎？至宋朝司天有監，太史有局，皆以儒 臣提舉之。今日能舉行其制，則推五星聚奎，必有如 竇公儼者；定渾儀占象，必有如蘇公頌者。
善言曆者，當因天以求合，不為合以驗天；不善言曆 者，為合驗而已矣。善言曆者有三說：一曰氣，二曰象， 三曰數。不善言曆者，數而已矣。葢！數可以類推，而日 月星辰之行，有象而見於上；四時寒暑之氣，無形而 運於下。二者皆動物也，其可執其一定之數，以驗其 運行而不息者乎？故嘗謂「清臺之候，乃曆象之元龜」 也。一晷度之差，吾志矣；一星辰之動，吾著焉。旦旦而 求之，步其前往，推其後來，而毫髮無遺算，奈之何預 為合以驗天，而執其一定以驗二者之常動。此漢、唐 以來，治曆者無慮數十家，其始未嘗不密，而後未嘗 不疏者，豈非以此歟？〈所貴乎治曆明時之君子正以隨時變通也〉《革》卦第 四十九象言「治曆明時」，或者以為合大衍之數，非也。 葢曆久必差，不可不改革耳。 蔡氏曰：「當初造曆，便合并天運所差之度，都算在裡， 幾年差幾分，幾年差幾度，將這差數都做正數算，直 推到盡頭，如此庶幾曆可以正而不差也