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第一百十七卷

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百十七卷目錄

 算法部彙考九

  算法統宗五〈衰分章第三〉

曆法典第一百十七卷

算法部彙考九

《算法統宗五》

衰分章第三

「衰」者,等也。物之混者求其等而分之,以物之多寡求 其出稅,以人戶等第求其差徭,以物價求貴賤高低 者也。

衰分歌

衰分法數不相平,須要分數一分成,將此一分為之 實,以乘各數自均平。

法曰:各列置衰,排列所求等次之位,副併共若干,為 法。以所分物總乘未併者。〈是前列衰〉各自為實,以法除之, 即得所問。

可約者,約分之;不盡者,以法命之。

一法:置所分物為實,併各衰為法除之,得一衰,以乘 各衰。

合率差分

今有銀一千二百兩買綾絹,議要「絹一停,綾二停。其 綾每匹價三兩六錢,絹每匹價二兩四錢,問二色併 價各若干?」

答曰:「綾二百五十匹,價九百兩;絹一百二十五匹, 價三百兩。」

《法》曰:置銀一千二百兩為實,另置綾價,以二因之,得 七兩二錢,併入絹價二兩四錢,共九兩六錢為法,除 之,得絹一百二十五匹,倍之,得綾一百五十匹。各以 原價乘之,合問。

今有銀一百二十一兩一錢七分五釐,糴米、麥、豆,議 要米一分,麥二分,豆三分;其米每斗九分二釐,麥每 斗八分五釐,豆每斗三分六釐,問三色併價各若干? 答曰:「米三十二石七斗五升,價銀三十兩零一錢三 分;麥六十五石五斗,價銀五十五兩六錢七分五 釐;豆九十八石二斗五升,價銀三十五兩三錢七 分。」

法曰:置總銀為實,另置麥價,以二因之,得一錢七分。 又置豆價,以三因之,得一錢零八釐,米價九分二釐, 併三價,得三錢七分,為法。除實,得米數,二因得麥數, 三因得豆數。各以原價乘之,得各價。合問。

又法:先得米數,倍之,得麥數,加五,即豆數。

今有鰥寡孤獨四貧民、共給米二十四石、其鰥者四 分、寡者五分、孤者七分、獨者九分。問四民各該米若 干

答曰:「鰥者給米三石八斗四升,寡者給米四石八 斗,孤者給米六石七斗二升,獨者給米八石六 斗四升。」

法曰:置米為實,另置鰥四、寡五、孤七、獨九併之,共二 十五為法,除實,得九斗六升,為一衰之數。以各自衰 因之,合問。

今有甲乙丙丁四人,各出本銀七兩五錢,甲銀八色, 乙銀七色,丙銀六色,丁銀四色,共三十兩,入爐傾成 一錠。合夥不成,各欲分散,問各該若干?

答曰:「甲銀九兩六錢,乙銀八兩四錢,丙銀七兩 二錢,丁銀四兩八錢。」

《法》曰:併四人各出七兩五錢,共三十兩為法,另以四 人各原銀折作足色紋銀,甲得六兩,乙得五兩二錢 五分,丙得四兩五錢,丁得三兩四,共併得足色銀一 十八兩七錢五分為實。以法除實得六二五色。就以 此為法,以除各人折過足色銀,得分六二五色銀數 合問。

今有張三出本銀十九兩六錢四分,李四出本銀十 二兩三錢六分,共出本銀三十二兩,營運折了七兩 問各折若干。

答曰:「張三折銀四兩二錢九分六釐二毫五絲,李 四折銀二兩七錢零三釐七毫五絲。」

法曰:置折銀七兩為實,以共本銀三十二兩為法,除 之,得二錢一分八釐七毫五絲,乃是「一兩折數。」就以 此乘各人原本,合得各折數也。《合問》:〈按此法置張本銀李本銀列二

位各以七兩乘之,卻以三十二兩為法,歸除之,亦得。

今有三色金,共二十兩,內九色四兩,七色七兩,五色 九兩,欲銷一處,問「成色若干?」

答曰:「六五成色。」

法曰:置九色四兩,以九因得三兩六錢;七色七兩,以 七因得四兩九錢;五色九兩,以五因得四兩五錢。併三位折赤金一十三兩為實,以原金二十兩為法,除 之,合問。

今有一人將桃二百七十五箇,一人將梨二百二十 箇,各欲換西瓜。其瓜每箇錢二十七文半,桃每箇三 文半,其梨每箇八文問,各換瓜若干?

《答》曰:「桃主該換瓜三十五箇,梨主該換瓜六十四 箇。」

法曰:置桃數,以價三文半乘,得九百六十二文半,為 實,以瓜價為法除之,得桃換瓜數。另置梨數,以價八 文因之,得一千九百六十文為實,以瓜價為法除之, 得梨換瓜數。合問:

「今有官米七十三石二斗,令三等人戶出之。」上等二 十五戶,每戶五分;中等四十戶,每戶三分;下等六十 戶,每戶一分。問各等戶米若干?

答曰:「上等每戶一石二斗,共三十石;中等每戶七 斗二升,共二十八石八斗;下等每戶二斗四升,共 一十四石四斗。」

法曰:置總米為實,另置上等二十五戶,五因得一百 二十五;中等四十戶,三因得一百二十;下等六十戶, 得六十。以三數併之,共得三百零五。為法,除之得二 斗四升,是下等一戶所出之數。三因得七斗二升,是 中等一戶所出數;五因得一石二斗,是上等一戶所 出數。各以戶數乘之,得各等共數。合問。

今有軍二萬五千二百名,共支米、麥、豆三色,只云「四 人支米三石,七人支豆八石,九人支麥五石」,問各該 若干?

答曰:「米一萬八千九百石。麥一萬四千石,豆二 萬八千八百石。」

法曰:置軍數,列三位:一位以三因,得七萬五千六 百;以四除,得米一萬八千九百石;一位以五因,得 一十二萬六千;以九除,得麥一萬四千石;一位以 八因,得二十萬零一千六百;以七除,得豆二萬八千 八百石。合問。

今有官田一頃三十八畝,每畝科正米二斗,今要七 分本色米,三分折納細絲,每米一石折絲一斤,問各 納若干?

答曰:「米一十九石三斗二升,絲八斤四兩四錢八 分。」

法曰:置田數,以正米二斗乘,得二十七石六斗。置列 二位,一位以七乘,得米一十九石三斗二升;一 位以三乘,得八石二斗八升。以石變斤零二八用加 六,得兩錢之數,合問。

四六差分

法曰:各以四為首,用加五以求各衰首位。四就身, 加五得六,又加五得九,又加五得十三衰五分,又加 五得二十衰零二分五釐。如位。數多者,各加五以 生各衰倣此。

一法以首位為四,用四歸六,因以求各衰。〈不如加五捷徑〉 「二位」者:〈四 六〉併得十三位者。〈四 六 九〉併得十九 四位者。〈四 六 九 一十三衰半〉併得三十二衰,《五分》五位 者。〈四 六 九 十三衰五 二十衰二分五釐〉併得五十二衰,七分五 釐。各副并為法,除實得一衰,以乘各衰,《合問》。

今有金四千兩,令二等金戶四六納之。問各該若干? 答曰:「上等戶該二千四百兩,下等戶該一千六百 兩。」

《法》曰:置總金為實,以六因得上戶,以四因得下戶。合 問。

今有米一千五百五十八石,令甲、乙丙三人四六納 之,問各該若干?

答曰:「甲,七百三十八石。乙,四百九十二石。丙,三 百二十八石。」

《法》曰:「置米為實,列。」〈丙四 乙六 甲九〉副併共得十九衰,為法, 除實得八十二石,為一差衰。以乘各人衰數,即「出納 數」也。

今將前米,令甲、乙、丙丁四等人戶作四六出納,問各 該若干。

《法》曰:「置米為實,列。」〈丁四 丙六 乙九 甲十三衰五分〉副併共得三 十二衰,五分為法,除實得若干,乃為「一衰」之數。以四 因得丁所該納數。列一衰,則以乘各人衰數,合得各 人所納數也。

又將前米令甲、乙、丙、丁、戊五等人戶,作四六納之,問 各該若干。

《法》曰:「置米為實,列。」〈戊四 丁六 丙九 乙十三衰五分 甲二十衰○二分五釐〉 副併得五十二衰,七分五釐為法,除實得若干,為一 衰之數。以此為則,以乘各人衰數,合得各人出納數 也。

今有米三百八十五石五斗二升,令二等人戶從上 四六出之。甲上等二十六戶,乙下等四十戶,問各戶 各若干。

答曰:上等每戶七石三斗二升,共計一百九十石零 三斗二升;下等每戶四石八斗八升,共計一百九十五石二斗。

法曰:置米為實,另以上等二十六戶,以六因得一百 五十六衰。又以下等四十戶,以四因得一百六十衰。 二共併之,得三百一十六衰。為法。除實,得一石二斗 二升,為一差衰。以六因得七石三斗二升,是上等一 戶出數。另以一衰數,以四因得四石八斗八升,是下 等一戶所出數。各以戶數乘之,合問。

二八差分

法曰:各以二為首,用四因以求各衰首位。二以四 因得八衰,又四因得三十二衰,又四因得一百二十 八衰,又四因得五百一十二衰。如位數多者,各以四 因以生各衰。

一法以首為二,用二歸八,因以求各衰。〈不如四因捷徑〉 「二位」者:〈二 八〉併得十三位者。〈二 八 三十二〉三共《併得 四十二四位》者。〈二 八 三十二 一百二十八〉四、「共併得一百 七十五位」者。〈二 八 三十二 一百二十八 五百一十二〉五共併,得 六百八十二衰,為法,除實得一分衰數以乘各衰, 今有金三千兩,令二等人戶二八納之。問各該若干? 答曰:「上等戶二千四百兩,下等戶六百兩。」

《法》曰:置《總金》,列二位為實,一位以八因,得上等戶 所納之數,一位以二因,得下等戶所納之數。

若令三等人戶,作《二八》出之。

《法》曰:「置總金為實列。」〈丙二 乙八 甲三十二〉三共併,得四十二 衰為法。除實得若干,為一衰之數以為法。則以二衰 因得若干,為丙出金之數。又以八衰因得若干,為乙 出金之數。又以三十二衰乘之得若干,為甲出金之 數。《合問》:

若令四等人戶二八出納,只加上等四衰一百二十 八,四共併衰一百七十為法,除實得一衰之數,以乘 各衰,即得。

若五等,亦只加衰,用法如前。

三七差分

法曰:「各以三為首」,就以三因,或又三因,再三因,務求 得宜為首衰。卻用三歸七因,以求各衰。

二位者,首位三,次位七,併得十三位者,首位三,就 以三因得九為丙衰。卻以九用三歸七,因得二十一 為乙衰。再以二十一用三歸七,因得四十九為甲衰。 三位併得七十九衰四位者,首位三,以三因得九, 又三因得二十七為丁衰。卻以二十七用三歸七,因 得六十三為丙衰。卻以六十三用三歸七,因得一百 四十七為乙衰。卻以一百四十七用三歸七,因得三 百四十三為甲衰。四併得五百八十五位者,首位 三,以三因,又三因,再三因得八十一為戊衰。卻以戊 衰用三歸七,因得一百八十九為丁衰。卻以丁衰用 三歸七因得四百四十一為丙衰。卻以丙衰用三歸 七,因得一千零二十九為乙衰。卻以乙衰用三歸七 因得二千四百零一,為甲衰。「五併」共得四千一百四 十一,各以副併為法,除實得一衰數,以乘各衰,如位 數多者,皆以三因首位,用三歸七因,以求下位衰數。 今有金三千兩,令休績二縣金行鋪戶,三七上納,問 各該若干?

答曰:「休寧縣二千一百兩,績溪縣九百兩。」

法曰:置金數為實,以七因,即休邑納數;以三因,即績 邑納數。合問。

今有銀四百九十七兩七錢,令甲、乙、丙三人三七分 之問,各該若干。

答曰:「甲,三百零八兩七錢;乙一百三十二兩三錢。」

丙五十六兩七錢

《法》曰:「置總銀為實列。」〈丙九 乙二十一 甲四十九〉副併得七十九 衰,為法。除實得六兩三錢,為一衰數。以乘各衰,得各 人數,合問。

若令四人作三七分之。

《法》置「總銀」為實列。〈丁二十七 丙六十三 乙一百四十七 甲三百四十三〉副 併,得五百八十衰,為法。除實得若干,為一衰之數;以 乘各衰,得各人數。

若令五人作三七分之。

《法》置「總銀」為實列。〈戊衰八十一 丁一百八十九 丙四百四十一 乙一千零二十 九 甲二千四百零一〉副併得四千一百四十一衰,為法,除實 得若干,為一衰之數。就以此為法,以乘各衰,得數《合 問》。

折半差分

《法》曰:「以所分物折半為衰二位」者。〈一 二〉併得《三 三位》者。〈一 二 四〉併得七四位者。〈一 二 四 八〉併得《十 五》五位者。〈一 二 四 八 十六〉併得三十一,各副併為法, 除實。〈按此法加一倍法也首衰倍之得次衰又倍之得三衰四五同〉 今有錢五百九十四文,令甲乙二人折半分之,問各 該若干。

答曰:「甲三百九十六文,乙一百九十八文。」

《法》曰:「置總錢為實」,以〈甲二乙一〉併得「三衰」為法,歸實得一 百九十八文,為乙所得數;倍之,得三百九十六文,為 甲所得數。合問今有銀六百七十二兩,令三等人作折半分之,問各 該若干?

答曰:「甲,三百八十四兩,乙一百九十二兩,丙,九 十六兩。」

《法》曰:「置總銀為實,以」〈甲四 乙二 丙一〉併得七衰,為法,除實 得九十六兩,為丙所得數。以二因,得乙數,以四因,得 甲數。合問:

今有女子善織,初日遲,次日加倍,第三日轉速倍增, 第四日又倍增,織成絹六丈七尺五寸,問各日織若 干。

答曰:「初日織四尺五寸,次日織九尺,第三日織 一丈八尺,第四日織三丈六尺。」

《法》曰:「置絹為實列。」〈一 二 四 八〉併得十五為法。除實,得 初日織四尺五寸。倍之,得次日數,再倍,得第三日數, 又倍,得第四日數。《合問》:

遞減挨次差分

《法》曰:「置所分物者,挨次為衰」,各列置衰算之三位 者。〈一 二 三〉併得六四位者。〈一 二 三 四〉併得十五 位者。〈一 二 三 四 五〉併得十五六位者。〈一 二 三 四 五 六〉併得二十一,各副併為法,除實。

今有絹七百二十匹,令甲、乙丙三人依等挨次分之, 問各該若干。

答曰:「甲三百六十匹,乙二百四十匹,丙一百二 十匹。」

《法》曰:置絹為實,以〈甲三 乙二 丙一〉併得六衰,為法,除實得 一百二十匹,為丙所得數。以二因,得乙數,以三因得 甲數。合問。

今有銀九十二兩,分散四子,依等挨次分之,問各該 若干。

答曰:「長子三十六兩八錢,次子二十七兩六錢; 三子一十八兩四錢、四子九兩二錢。」

《法》曰:「置總銀為實。」〈以長子四 次子二 三子二 四子一〉副併得十衰, 為法,除實得九兩二錢,為四子,所得數,自下而上,各 加九兩二錢,合問。

今有金八兩一錢,欲挨次造套鍾五箇,問各重若干? 答曰:「大號二兩七錢,二號二兩一錢六分,三號 一兩六錢二分,四號一兩零八分,五號五錢四 分。」

《法》曰:置金為實,以〈五 四 三 二 一〉副併得一十五衰,為 法,除實得五錢四分,為五號鍾重數。自下而上,各加 五錢四分合問。

若造禮樂射御,書數「六號杯。」

法置總金數,為實以。〈六 五 四 三 二 一〉副併得二十一 衰為法,除實得數字,杯重若干,自下而上各加數字, 號杯重若干,合問。

今有糧一千一百三十四石,令五等人戶挨次上納。 一等二十四戶,二等三十三戶,三等四十二戶,四等 五十一戶,五等六十戶,問各若干?

答曰:一等每戶十石零五斗,共計二百五十二石; 二等每戶八石四斗,共計二百七十七石二斗;三 等每戶六石三斗,共計二百六十四石六斗;四等 每戶四石二斗,共計二百一十四石二斗;五等每 戶二石一斗,共計一百二十六石。

《法》曰:「置糧為實,第五等戶不動」,將四等戶數,以二因 得若干,又將三等戶數,以三因得若干,再將二等戶 數,以四因得若干,又將一等戶數,以五因得若干,併 五等數,共得五百四十衰為法,除實得二石一斗,是 第五等一戶所出數,以二因得四等一戶所出數,以 三因得二等一戶所出數,以四因得三等一戶所出 數,以五因得一等一戶所出數,各以戶數乘之,合問。 〈自五等起逓加二石一斗至一等止〉 今有米二百四十石,令甲、乙、丙、丁、戊五人遞差分之。 要將甲、乙二人數與丙、丁、戊三人數同,問各該若干? 答曰:「甲六十四石,乙五十六石,丙四十八石。」

丁,四十石。戊、三十二石。

《法》置「總米」為「實列。」〈甲五 乙四 丙三 丁二 戊一〉又併甲五乙四 得九。又併丙三、丁二,戊一得六,減九,餘三。卻以前五 人衰內各增三甲得八,乙得七,丙得六,丁得五,戊得 四,副併得三十衰。為法,除實得八石,為一衰數。以乘 各人後增衰數,得各人所得數。合問。〈戊起逓加八數至甲止〉 或七人分者,要將甲乙丙三人,數與丁戊己庚四人 數同者。又云「三人分」者,要將甲得數與乙丙二人 所得數同者,俱倣前法算之。

今有金六十兩,令甲、乙、丙三人依等遞差五兩,問各 該若干。

答曰:「甲二十五兩,乙二十兩,丙一十五兩。」

法曰:置金六十兩,內減差,甲多丙十兩,乙多丙五兩, 共一十五兩,餘四十五兩為實。以三人為法,除之,得 丙金一十五兩。加五兩得二十兩,為乙所得;又加五 兩,為甲所得。合問。〈按凡算遞差者皆可互和折半故不必另立互和之法即以金六十

兩,用「三」 歸之,即得「乙」 數也。

〉今有俸米三百零五石、令五等官依品逓差。十三石

分之問各該若干

答曰:「正一品,八十七石。從一品,七十四石。正二 品,六十一石。從二品,四十八石。正三品,三十五 石。」

法曰:置五等於上,又列五等,減一,餘四以乘五,得二 十,折半得一十,為實。以每等差十三石乘之,得一百 三十石。以減總米三百零五石,餘一百七十五石,卻 以五等除之,得三十五石,是第五等。正三品俸米,加 十三石,是第四等。從二品俸米,又加十三石,是正二 品俸米。各品遞加十三,合問。〈按此法置總銀為實只用五歸即得正二品數

遞加則得從一品、正一品數;逓減則得從二品、正三品數也。

今有官米二百六十五石,令三等人戶出之。上等二 十戶,每戶多中等七斗;中等五十戶,每戶多下等五 斗;下等一百一十戶。問每戶所出及逐等各若干? 答曰:「上等每戶二石四斗,共四十八石;中等每戶 一石七斗,共八十五石;下等每戶一石二斗,共一 百三十二石。」

法曰:「置中等五十戶」,以每戶多下等五斗,因之得二 十五石。又置上等二十戶,以每戶多中等七斗,多下 等五斗,共一石二斗乘之,得二十四石,併二數共四 十九石,以減總米,餘二百一十六石為實,併三等戶 數,共一百八十為法,除實得一石二斗,是下等一戶 所出數。加五斗得一石七斗,是中等一戶所出數。又 加七斗,得二石四斗,是上等一戶所出數。各以戶數 乘之,《合問》。

帶分母子差分

「今有馬軍七人,給褲布四十八尺;步軍六人,給襖布 九十二尺。」今共給布一十二萬五千八百二十尺,問 各該若干?

答曰:「馬步軍各五千六百七十人,襖布八萬六千 九百四十尺,褲布三萬八千八百八十尺。」

法曰:「置分,母子互乘。」〈七人六人〉〈四十八 九十二〉以七人乘九 十二尺,得六百四十四尺。另以六人乘四十八尺,得 二百八十八尺,併之,得九百三十二尺為法。置布一 十二萬五千八百二十尺,卻以六人七人相乘,得四 十二而乘之,得五百二十八萬四千四百四十尺為 實。以法除之,得軍數各五千六百七十人。以四十八 乘,又用七歸得褲布。又以九十二乘軍數,用六歸,得 襖布合問。

今有昆仲三人。小弟謂長兄曰:「我年紀比汝四分之 三,次兄年紀比汝六分之五,我多八歲。」問三人歲數 各若干,

答曰:「長兄九十六歲,次兄八十歲,小弟七十二 歲。」

《法》曰:「置」〈六分四分〉〈之五之三〉以母四互乘子五,得二十,為 次兄之差。又以母六互乘子三,得十八,為小弟之差。 又以母四六相乘,得二十四,為長兄之差。另以二十 減去十八,餘二為法。先置長兄差二十四,以八歲乘 之,得一百九十二為實。以法二除之,得九十六,為長 兄之歲。另以次兄差二十,以八歲乘之,得一百六十 為實。以法二除之,得八十,為次兄之歲。另以小弟十 八,亦以八歲乘之,得一百四十四,為實。以法二除之, 得七十二,為小弟歲數。《合問》。

今有七人差等均錢,「甲、乙均七十七文,戊、己、庚均七 十五文,問丙、丁各若干?」

答曰:「甲四十文乙,三十七文丙,三十四文丁。」

三十一文戊二十八文己二十五文庚二十

二文。

《法》曰:「置」〈二人三人〉〈七十七文 七十五文〉令母互乘子以二人乘 七十五文,得一百五十。另以三人乘七十七文,得二 百三十一文。以少減多,餘八十一,為一差之實。併分 母二人、三人得五,折半得二人半。以減總七人,餘四 人半。卻以分母二人、三人乘,得六,以乘四人半,得二 十七,為一差之法。餘實八十一,得三文,為一差數。置 《甲》《乙》,均七十七文,加二文,共八十文,折半得四十文 為「甲」,得數遞減,三文合問。

今有兵士三千四百七十四名,每三人支衫絹七十 尺,每四人支裙絹五十尺,問該總絹若干?

答曰:共絹一十二萬四千四百八十五尺,衫絹八 萬一千零六十尺,裙絹四萬三千四百二十五尺。 法曰:「置。」〈三人 四人〉〈七十尺 五十尺〉以三人互乘五十,得一百 五十。以四人互乘七十,得二百八十。併之,共四百三 十,乘兵士,得一百四十九萬三千八百二十為實。又 以三四相乘,得十二為法,除實得總絹數。另置兵士 總以七因三歸得衫絹數,以五因四歸得裙絹數。《合 問》。

互和減半差分

法曰:以〈一 三 五 七 九〉為陽位,〈二 四 六 八 十〉「為陰位」三 位者。〈三 五 七〉併得十五數四位者。〈二 四 六 八〉併得二 十數五位者。〈一 三 五 七 九〉併得二十五數,照位併而為法,除實得首尾二人共數,於內減甲多或丙少數, 餘數折半,得首尾數,加甲多或丙少數,為首數。 三位者互和首尾。甲、丙二人所得數折半,得中乙數。 《合問》

四位者,照前得首尾甲丁二人數,其中有乙丙二人, 不可折半得數,卻置甲多或丁少數,依例用三歸之 《合問》。

五位者,照依前得首尾甲戊二人數互和,首尾數折 半得中丙數,又互和丙戊數,折半得丁數。又互和丙 甲數,折半得乙數。如位數多者,皆以空位取之,併而 為法,除實得首尾數。〈四位者用三歸之六位者用五除之〉 今有白米一百八十石,令三人從上互和,減半分之, 只云「甲多丙米三十六石,問各該若干?」

答曰:「甲,七十八石,乙,六十石,丙,四十二石。」

《法》曰:置米一百八十石為實,以〈三 五 七〉併得一石五 斗為法。除實,得一百二十石,乃甲、丙二人首尾共數。 於內減甲多三十六石,餘八十四石折半,得丙四十 二石,加多三十六石,得甲米七十八石。互和甲、丙米 折半,得乙米六十石。《合問》。

今有銀二百四十兩,令四人從上互相減半分之,只 云「甲多丁一十八兩」,問各該若干?

答曰:「甲六十九兩,乙六十三兩,丙五十七兩。」

丁,五十一兩。

《法》曰:置銀為實,以〈二 四 六 八〉併得二兩為法,除實得 一百二十,乃甲、丁首尾二人共數。於內減甲多一十 八兩,餘一百零二兩折半,得丁銀五十一兩。加多一 十八,得甲銀六十九兩。惟乙丙二人不可併折,以甲 多一十八例用三歸之,得六兩,加入丁銀,得丙銀五 十七兩。又加六兩,得乙銀六十三兩。合問。

今有鈔二百三十八貫,令五等人從上作互和減半 分之,只云「戊不及甲三十三貫六百文,問各該鈔若 干。」

答曰:甲,六十四貫四百文;乙,五十六貫;丙,四十 七貫六百文;丁,三十九貫二百文;戊,三十貫零 八百文。

《法》曰:「置鈔為實,以」〈一 三 五 七 九〉併得二貫五百文為 法,除之,得九十五貫二百文,乃首尾二人共數。於內 減戊不及甲鈔,餘六十一貫六百文折半,得戊鈔三 十貫八百文;仍加戊不及甲鈔三十三貫六百文,得 甲鈔六十四貫四百文。互和甲、戊鈔共九十五貫二 百文,折半,得丙鈔四十七貫六百文。又互和丙、戊鈔 共七十八貫四百文,折半,得丁鈔三十九貫二百文。 又互和甲丙鈔共一百一十二貫,折半得乙鈔五十 六貫。《合問》

今有五人,均銀四十兩,內甲得十兩四錢,戊得五兩 六錢,問乙、丙、丁次第均之,各該若干?

答曰:「乙九兩二錢,丙八兩,丁六兩八錢。」

法曰:併甲戊共一十六兩折半,得丙銀八兩;又併甲 丙共一十八兩四錢,折半,得乙銀九兩二錢;又併丙 戊共一十三兩六錢,折半,得丁銀六兩八錢。合問 假如前三人四六分物者,可將一等與二等所得數 併作一處,卻分為十分。此驗其一等原得數是六分, 其二等原得數是四分,再將二等與三等仍前考之, 其二等原得數,卻是六分,「三等」原得數,卻是四分也, 其二八三七,俱照此考驗無差

因《指明》等書不依古法,卻以十分之六誤為四六,以 十分之七為三七,以十分之八為二八,俱差矣,因差 而考之。

今有絹四百七十丈零一尺八寸四分,令三等人戶 作十分之六出之。上等二十五戶,中等三十戶,下等 四十八戶,問每戶各該若干?

答曰:上等每戶七丈八尺,共一百九十五丈;中等 每戶四丈六尺八寸,共一百四十丈零四尺;下等 每戶二丈八尺零八分,共一百三十四丈七尺八寸 四分。

法曰:置總絹為實,另置上等戶數,以一百因之,得二 千五百衰。中等戶數,以六十因之,得一千八百衰。下 等戶數,以三十六乘之,得一千七百二十八衰。併三 位共六千零二十八衰,為法,除實,得七丈八尺,是上 等一戶所出數。以六因,是中等一戶所出數,再以六 因,是下等一戶所出數。各以戶數乘之,合問。

今有粟一百六十八石四斗八升八合,令四等人戶 作十分之七出之,問每戶逐等各若干

答曰:第一等二十二戶,每戶二石,共四十四石;第 二等三十六戶,每戶一石四斗,共五十石零四斗; 第三等四十二戶,每戶九斗八升,共四十一石一斗 六升;第四等四十八戶,每戶六斗八升六合,共三 十二石九斗二升八合。

《法》曰:置總粟為實,另置一等戶,以一千因,得二萬二 千。第二等戶以七百因之,得二萬五千二百。第三等 戶以四百九十乘之,得二萬零五百八十。第四等戶以三百四十三乘之,得一萬六千四百六十四。併四 位,共八萬四千二百四十四衰為法,除實,得二石,是 第一等一戶所出數。以七因是二等一戶數,又七因 是三等,一戶數又七,因是四等,一戶數各以戶數乘 之,合問十分之七,即以七因以生各等,詳後解法。 今有官米二百二十五石三斗六升,令五等人戶作 十分之八出之,問每戶逐等各若干?

答曰:第一等四戶,每戶二石五斗,共一十石;第二 等八戶,每戶二石,共一十六石;第三等十五戶,每 戶一石六斗,共二十四石;第四等四十一戶,每戶 一石二斗八升,共五十二石四斗八升;第五等一 百二十戶,每戶一石零二升四合,共一百二十二石 八斗八升。

解法曰:「一等定率一萬,以八因之,得八千,為二等率。 又八因得六千四百,為三等率。又八因,得五千一百 二十,為四等率。又八因得四千零九十六,為五等率。」

前問十分之七倣此。即以七因定率。

《法》曰:置總米為實,另置第一等四戶,以一萬因之,得 四萬;第二等八戶,以八千因之,得六萬四千;第三等 十五戶,以六千四百乘之,得九萬六千;第四等四十 一戶,以五千一百二十乘之,得二十萬零九千九百 二十;第五等一百二十戶,以四千零九十六乘之,得 四十九萬一千五百二十。併五位,共九十萬零一千 四百四十衰為法,除實得二勺五抄,為一衰數。就以 此乘一等衰一萬,每戶該米二石五斗,以八因得二 石,是第二等一戶所出數。又八因得一石六斗,是三 等一戶數。又八因得一石二斗八升,是四等一戶數。 又以八因得一石零二升四合,是五等一戶數。各以 戶數乘之,《合問》:

匿價差分歌

匿價分身法更奇,多乘高物以為實。得價減總餘又 列,共物除餘低價知。低價添多為高價,各乘各物不 差池。學者能知此般算,三四物價也相宜。

今有銀一萬七千六百九十兩買馬騾一千匹,議要 馬七百匹,騾三百匹。其馬價多,騾價七兩七錢,問各 價若干?

答曰:「馬每匹價二十兩,騾每匹價一十二兩三錢。」 法曰:置馬七百匹,以多七兩七錢乘之,得五千三百 九十兩,以減總銀,餘一萬二千三百兩,以馬騾一千 為法,除之,得騾一十二兩三錢,加多七兩七錢,為馬 價合問。

今有銀二千九百二十八兩,共買綾一百五十匹,羅 三百匹,絹四百五十匹。只云:「綾匹價比羅匹價多四 錢七分,羅匹價比絹匹價多一兩三錢五分」,問三物 匹價各若干?

答曰:「綾價每匹四兩三錢二分,羅價每匹三兩八 錢五分,絹價每匹二兩五錢。」

法曰:列羅三百匹,以多絹價一兩三錢五分乘,得四 百零五兩。又列綾一百五十匹,以二項多價共一兩 八錢二分,乘得二百七十三兩併之,得六百七十八 兩。減總銀,餘二千二百五十兩為實,併綾、羅絹共九 百匹為法,除之,得二兩五錢,為每匹絹價;加多一兩 三錢五分,得羅匹價三兩八錢五分;又加多四錢七 分,得綾匹價四兩三錢二分,合問。

今有綾七尺,羅九尺,共價適等。只云「羅每尺價比綾 每尺價少錢三十六文,問各錢價若干?」

答曰:「綾每尺一百六十二文,羅每尺一百二十六 文。」

法曰:置羅九尺,以綾價三十六文乘之,得三百二十 四文為實。另以綾七尺、羅九尺相減,餘二尺為法。除 實,得綾尺價一百六十二文。另置綾七尺,以三十六 文乘之,得二百五十二文為實。仍將前法二尺為法 除之,得羅尺價一百二十六文。《合問》。

今有金九塊,銀十一塊,秤之適等,交換二塊,則餘金 比換銀多一十三兩,問金、銀各重若干?

答曰:金一塊,重三十五兩七錢五分;銀一塊重二 十九兩二錢五分;金九塊、銀十一塊,各共重三百 二十一兩七錢五分。

法曰:列金重一十三兩,折半,得六兩五錢,乘金九塊, 得五十八兩五錢為實。卻以金九、銀十一相減,餘二 為法,除實,得銀一塊,重二十九兩二錢五分數。另置 銀十一塊,以六兩五錢乘之,得七十一兩五錢為實。 仍以前二為法,除之,得金一塊,重三十五兩七錢五 分。合問。

貴賤差分歌

差分貴賤法尤精,高價先乘共物情。卻用都錢減今 數,餘留為實甚分明。別將二價也相減,用此餘錢為 法行。除了先為低物價,自餘高價物方成。

今有米麥五百石,共價銀四百零五兩七錢。只云:「米 每石價八錢六分,麥每石價七錢二分五釐」,問米麥 各若干答曰:「米三百二十石,價銀二百七十五兩二錢;麥 一百八十石,價銀一百三十兩零五錢。」

法曰:置米麥五百石,以米價八錢六分乘之,得四百 三十兩。減去共價,餘二十四兩三錢為實。以米價內 減麥價,餘一錢三分五釐為法。除之,得麥一百八十 石。卻以米麥五百石內減麥數,餘三百二十石為米 數。各以原價乘之,合問。

今有銀五十五兩五錢,共買銅、錫、鐵八萬三千零五 十兩。只云銀價相倣,每銀一錢買銅一百三十兩,每 銀一錢買錫一百五十兩,每銀一錢買鐵一百七十 兩,問三色各若干?〈此為三色差分〉

答曰:「銅二萬四千七百兩,價銀一十九兩;錫二萬 七千七百五十兩,價銀一十八兩五錢;鐵三萬零 六百兩,價銀一十八兩。」

法曰:置總銀,以三歸之,得一十八兩五錢,約錫為中。 以每銀一錢買一百五十兩乘,得錫二萬七千七百 五十兩,於總物內減訖,餘五萬五千三百兩。另置總 銀內減去一十八兩五錢,餘三十七兩,卻以銅一百 三十兩乘之,得四萬八千一百,減去五萬五千三百, 餘七千二百為實。另以銅鐵數相減,餘四十為法。除 實得鐵價一十八兩,又於三十七兩減去一十八兩, 餘一十九兩為銅價。各以每銀一錢買數乘之,合問 今有綾、羅、紗、絹一百六十匹,共價九十三兩,綾每匹 價九錢,羅每匹價七錢,紗每匹價五錢,絹每匹價三 錢。問四色各若干?

答曰:「綾三十五匹,該銀三十一兩五錢;羅四十匹, 該銀二十八兩;紗四十匹,該銀二十兩;絹四十 五匹,該銀一十三兩五錢。」

法曰:此四色差分,先置一百六十匹,以四除之,得四 十匹。就定中物、羅、紗二色及價,卻於一百六十匹內 減羅、紗共八十匹,餘八十匹;又於共價九十三兩內 減去羅價二十八兩,紗價二十兩,餘四十五兩。以貴 賤差分算之,置餘八十匹,以綾價九錢乘之,得七十 二兩,減去四十五兩,餘二十七兩為實。以綾價九錢 減絹價三錢,餘六錢為法。除之,得四十五匹為絹數。 卻於八十匹內減絹四十五匹,餘三十五匹為綾。各 以原價乘之,《合問》:

凡三色、四色差分之法,俱先定中等,惟留首尾二色, 以貴賤差分法算之,不拘五、六、七、八、九色者倣此。

《仙人換影歌》:〈又日:「貴賤相和。」 〉

「貴賤相和換影仙」,賤物互乘貴價錢,貴物互乘賤價, 訖相減,餘為長法。然先使總錢乘賤物,後用總物乘 賤錢,二數相減,餘為實,長法除之。《短法》言貴物貴價 各乘短物價分明皆得全。總內減貴餘為賤,不遇知 音不與傳。

今有錢四千九百九十五文,共買桃、梨五千個。只云 錢一十一文買桃九個,又錢四文買梨七個。問桃、梨 各若干?

答曰:「桃三千二百八十五個,該錢四千零一十五文。」

梨一千七百一十五個,該錢九百八十文。

《法》曰:列置。〈九箇十一文〉〈七箇四文〉〈五千箇四千九百九十五 文〉先以上十一互乘中七箇,得七十七箇。又以四文 乘九箇,得三十六箇。以少減多,餘四十一,為長法。 若求桃數價者,以中下互乘,置總錢,以七箇乘,得三 萬四千九百六十五箇。另置總果,以四文乘之,得二 萬,以減三萬四千九百六十五箇,餘一萬四千九百 六十五箇為實。以《長法》四十一除之,得三百六十五 箇,為短法。列二位,一位以九箇乘,得桃三千二百八 十五箇。一位以十一文乘,得桃價四千零一十五文。 於總內減桃數,餘者即梨數價也。若求梨數價者, 卻置總錢,以九箇乘之,又置總果,以十一文乘之,二 數相減,餘一萬零零四十五為實。仍以長法四十一 除之,得二百四十五,為《短法》。列二位,一位以七箇乘 得梨數;一位以四文乘得梨價。合問。〈求桃者以梨價求之求梨者以 桃價求之〉

今有牛羊一百隻,共價一百六十八兩只云:牛三隻 價銀一十二兩,羊四隻價銀一兩五錢,問牛、羊併價 各若干。

答曰:「牛三十六隻,價銀一百四十四兩;羊六十四 隻,價銀二十四兩。」

《法》曰:列置。〈牛三十二兩〉〈羊四一兩五錢〉〈共一百隻共一百六十 八兩〉先以上牛貴價一十二兩互乘賤物羊四隻,得四 十八兩。又以貴物牛三互乘賤物羊價一兩五錢,得 四兩五錢,以減四十八兩,餘四十三兩五錢,為長法。 次以中羊四互乘總價一百六十八兩,得六百七十 二。又置總物一百隻,以賤價一兩五錢乘之,得一百 五十,以減六百七十二,餘五百二十二為實。以《長法》 四十三兩五錢除之,得一兩二錢,為短法。列二位,一 位以貴物牛三乘之,得牛三十六隻。一位以牛貴價 一十二兩乘之,得一百四十四兩。以減總銀,餘得羊 價。合問今有大小魚一百斤,共價八錢七分五釐,只云大魚 二斤,價四分,小魚七斤,價五分。問大小魚及價各若 干?

答曰:「大魚一十二斤半,價銀二錢五分;小魚八十 七斤半,價」銀六錢二分五釐。

《法》曰:列〈大魚二斤價銀四分〉〈小魚七斤價銀五分〉〈總魚一百斤總價八錢七 分五釐〉先以上大魚價四分互乘中小魚七斤,得二錢 八分;又以大魚二斤互乘小魚價五分,得一錢;以少 減多,餘一錢八分,為長法。次以中小魚七斤互乘下 總價,得六兩一錢二分五釐;又以小魚價五分互乘 總魚一百斤,得五兩;以少減多,餘一兩一錢二分五 釐為實。以《長法》除之,得六分二釐五毫,為短法。列二 位,一位以二斤乘之,得大魚一十二斤半;一位以四 分乘之,得大魚價二錢五分。於總魚一百斤減去大 魚,餘得小魚。合問。

若求小魚者,置總價,以大魚二斤乘之,得一兩七錢 五分。又置總魚一百斤,以貴價四分乘之,得四兩,以 少減多,餘二兩二錢五分,仍用前長法一錢八分除 之,得一錢二分五釐,為短法。列二位,一位以七斤乘 之,得小魚八十七斤半。一位以五分乘之,得小魚價 六錢二分五釐。《合問》。

今有圓木大小二根,內大者一根,頭徑一尺二寸、梢 徑八寸,長二丈五尺;小者一根,頭徑一尺、梢徑七寸, 長二丈。共價銀四十九兩零八分。問大小木各價若 干。

答曰:「大木三十一兩二錢,小木一十七兩八錢八 分。」

法曰:先置大木頭,徑一尺二寸,自乘,得一百四十四 寸;又將梢徑八寸自乘,得六十四寸,併之,得二百零 八寸;以長二丈五尺乘之,得積五萬二千寸。又置小 木頭,徑一尺自乘,得一百寸;又將梢徑七寸自乘,得 四十九寸;併之,得一百四十九寸;以長二丈乘之,得 積二萬九千八百寸,併大小積共八萬一千八百寸 為法,以除原價四十九兩零八分,每寸派得六毫,就 以此為法,各乘大、小積,合問。

今有石,石中有玉,外方三寸,共重一十二斤十五兩。 只云「玉方一寸,重一十二兩,石方一寸重三兩」,問玉 石各重若干?

答曰:「玉一十四寸,重一十斤零八兩;石一十三寸, 重二斤七兩。」

法曰:置方三寸自乘,得九寸,再乘,得二十七寸。以《玉 率》重一十二兩乘之,得三百二十四兩。減共重一十 二斤十五兩,即二百零七兩。餘一百一十七兩為賤 實。以貴賤率,玉十二兩,石三兩相減,餘九兩為法。除 實,得石一十三寸。減共積二十七寸,餘得玉一十四 寸。以《玉率》一十二兩乘之,得一百六十八兩。另以石 一十三寸,以石率三兩乘之,得三十九兩,各以斤法 通之,得斤數《合問》。

今有客三次出外為商,俱得合利,每次歸還銀三百 兩,三次本利恰盡,問原本若干?

答曰:「二百六十二兩五錢。」

法曰:置銀三百兩,折半得一百五十,又加三百得四 百五十,又折半得二百二十五兩,又加三百得五百 二十五兩,又折半得原本二百六十二兩五錢。合問。

《物不知總》。〈又云:「韓信點兵也。」 〉

《孫子歌》曰:「三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,七子 團圓正半月,除百零五便得知。」

今有物不知數,只云「三數剩二箇,五數剩三箇,七數 剩二箇」,問共若干?

答曰:「共二十三箇。」

《法》曰:列〈三 五 七〉維乘。以三乘五,得一十五,又以七乘 之,得一百零五,為滿法數。列位。另以三乘五,得一十 五,為七數剩一之衰。又以三乘七,得二十一,為五數 剩一之衰。又以五乘七,得三十五,倍作七十,以三除 之,餘一,故用七十為三數剩一之衰。其三數剩二者, 剩一下七十,剩二下一百四十也。五數剩三者,剩一 下二十一,剩二下四十二,剩三下六十三也。七數剩 二者,剩一下十五,剩二下三十也。併之得二百三十 三,內減去滿數一百零五,又減一百零五,餘二十三 箇。《合問》。

今有客至,不知其數,只云「三人共飯,四人共羹」,通共 用碗二百零一隻問客併羹飯碗各若干。

答曰:「客五百一十六人,羹一百二十九碗,飯一 百七十二碗。」

法曰:置碗三百零一隻,以三人因之,得九百零三為 實。併三人、四人共七人為法,除之得羹碗一百二十 九隻,又以四因之,得客五百一十六人,以三除之,得 飯碗。《合問》。

今有客不知數,只云「二人共飯,三人共羹,四人共肉, 通共用碗六十五隻」,問客若干。

答曰:客六十人法曰「置。」〈二人 四人 三人〉維乘以二乘三,得六,以三乘四, 得一十二,又四乘二,得八,併之,得二十六,為法。另以 二乘三,得六,卻以四乘之,得二十四,以乘碗六十五, 得一千五百六十,為實。以法二十六除之,得客。《合問》。 〈維乘者四處順倒相乘也〉

右二條先用《合分》,後用互換也。。

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