钦定四库全书

几何论约卷一之首

柘城杜知耕撰

界説三十六则【凡造论先当分别解説论中所用名目故作界説】

一界防无长短广狭厚薄

二界线有长短无广狭厚薄【线有曲有直】

三界线之界是防

四界直线止有两端两端之间上下更无一防

五界面有长短广狭而无厚薄

六界靣之界是线

七界平面一面平在界之内

八界平角两直线于平靣纵横相遇处如甲乙乙丙两线所作不以线之大小较论【凡言角连用三字中间一字为所指之角如称甲乙丙角乃指乙角而言也】

九界直线相遇作角为直线角本书中所论皆是直

线角角有三等一直线角

二曲线角三杂线角

十界甲乙纵线加丙丁横线上乙左右作两角相等

而直【角方中矩曰直】则甲乙为丙丁之垂线

十一界凡角大于直角曰钝角【如甲乙丙角】

十二界凡角小于直角曰鋭角【如前图甲乙丁角】

十三界界者一物之始终今所论有三界防为线之界线为面之界面为体之界体不可为界

十四界形或在一界【如平圎立圎等形】或在多界之间【如平方立方及平立三角六角八角等形】

十五界圜自界至心任作几许直线俱等

十六界圜之中处为心

十七界自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜为两平分

十八界径线与半圜界所作形为半圜

十九界在直线界中之形为直线形

二十界在三直线界中之形为三边形

二十一界在四直线界中之形为四边形

二十二界在多直线界中之形为多边形

二十三界三边形三邉线等为平边三角形

二十四界三边形两邉线等为两边等三角形

二十五界三邉形三边俱不等为三不等三角形二十六界三邉形有一直角为三邉直角形

二十七界三边形有一钝角为三边钝角形

二十八界三边形三角皆鋭为三边鋭角形【凡三边形恒以在下者为底两旁者为腰】

二十九界四边形四边俱等而角直为直角方形三十界直角形其角皆直其边两两相等

三十一界斜方形四边等而非直角

三十二界长斜方形其邉两两相等而非直角

三十三界已上四种谓之有法四邉形四种之外他方形皆谓之无法四邉形

三十四界两直线【如甲乙丙丁两线】于同面行至无穷不相

离亦不相逺而不相遇为平行线

三十五界一形每两边有平行线【甲丙与乙丁平行甲乙与丙丁平行】

为平行方形

三十六界凡平行方形于对角作直线又于两边纵横各作平行线遇对角线于壬即分此形为四平行方形其两形有对角线者【己辛庚戊两形】为

角线方形其两形无角线者【丁壬壬乙两形】为余方形【甲乙丙丁方形今止称为丁乙方形省文也】

求作四则【求作者不得言不可作】

一求自此防至彼防求作一直线

二求一有界直线求从一界引长之成一直线

三求不论大小以防为心求作圜

四求设一度于此求作彼度较此度或大或小【凡言度者或线或面或体皆是】

公论十九则【公论者不可疑】

一论设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等二论有多度等若所加之度等则合并之度亦等三论有多度等若所减之度等则所存之度亦等四论有多度不等若所加之度等则合并之度不等五论有多度不等若所减之度等则所存之度不等六论有多度俱倍于此度则彼多度俱等

七论有多度俱半于此度则彼多度俱等

八论有二度自相合【谓以此度加于彼度之上而自相合】则两度必等九论全大于其分

十论直角俱相等

十一论有甲乙丙丁两横线任作一戊己纵线或正或偏若戊己线旁同方两角俱小于直角或两角并小于两直角则两横线愈长愈相近

必有相遇处

十二论两直线不能为有界之形

十三论两直线止能于一防相遇

十四论有甲乙丙丁两度等若于甲乙加乙戊于丙丁加丁己所加两度不等则合并之差与所

加之差等谓甲戊之大于丙己与乙戊之大于丁己同一戊庚也

十五论有戊乙丁己两度不等若于戊乙加乙甲于己丁加丁丙所加两度等则合并所赢之度

与元所赢之度等谓戊甲之大于己丙与戊乙之大于己丁同一庚戊也

十六论有甲乙丙丁两度等若于甲乙减戊乙于丙丁减己丁所减两度不等则余度所赢之度

与减去所赢之度等谓乙戊之大于己丁与丙己之大于甲戊同一庚戊也

十七论有甲戊丙己两度不等若于甲戊减甲乙于丙己减丙丁所减两度等则余度所赢之度

与元所赢之度等谓乙戊之大于丁己与甲戊之大于丙己同一庚戊也

十八论全与诸分之并等

十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较【相减之余曰较】亦倍于彼较【设此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七】