钦定四库全书

几何论约卷五

柘城杜知耕撰

一题

此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率

解曰甲乙此二几何大于丙丁彼二几何各若干倍题言甲乙并大于丙丁并亦若干倍

二题

六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四巳之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四巳之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四巳之数

三题

四几何第一之倍第二若第三之倍第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四

解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊巳两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙若巳倍丁

四题

四几何第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等解曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与巳同任若干倍于一甲三丙别

作庚与辛同任若干倍于二乙四丁题言一甲所倍之戊与二乙所倍之庚偕三丙所倍之巳与四丁所倍之辛比例亦等

论曰试以戊巳同任

倍之为壬为癸别以

庚辛同任倍之为子

为丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也【本卷三】依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等若壬大于子即癸亦大于丑【本卷界六】不论几许倍其等大小恒如是也则戊与庚偕巳与辛之比例必等

一糸凡四几何一与二偕三与四比例等即可反推二与一偕四与三比例亦等

二糸若甲与乙偕丙与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等仿此以至无穷五题

大小两几何此全所倍于彼全若此全截分所倍于彼全截分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之

解曰甲乙所倍于丙丁若甲乙截分之甲戊所倍于丙丁截分之丙己题言甲戊分余之戊乙所倍于丙己分余之己丁亦如其数

六题

此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分余或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等

解曰甲乙丙丁各倍于戊己其数等毎减一倍戊己相等之甲庚丙辛题言分余庚乙辛丁或与戊己等或尚各倍于戊己其数亦等

七题

此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等

解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比例必

等又反上言丙与甲偕丙与乙各为比例亦等八题

大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例

解曰不等两几何甲大乙小又有他几何丙不论等大小于甲于乙题言甲与丙大于乙

与丙之比例又反言丙与乙大于丙与甲之比例九题

两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等

十题

彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此

解曰甲乙两几何又有丙几何甲与丙之比例大于乙与丙题言甲大于乙又言丙与乙

之比例大于丙与甲则乙小于甲

十一题

此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等

解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己等题言甲乙与丙丁之比例亦等

十二题

数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例

解曰甲乙丙丁戊己数几何甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己题言甲丙戊

诸前率并与乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前与各后也

十三题

数几何第一与二之比例若第三与四而第三与四之比例大于第五与六则第一与二之比例亦大于第五与六

解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与四丁之比例大于五戊与

六己题言甲与乙之比例亦大于戊与己

十四题

四几何第一与二之比例若第三与四而第一大于第三则第二亦大于第四第一或小或等于第三则第二亦等亦小于第四

解曰甲与乙之比例若内与丁题言甲大于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小

十五题

两分之比例与两多分并之比例等

解曰甲与乙同任倍之为丙为丁题言丙与丁之

比例若甲与乙

十六题【更理】

四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等

解曰甲与乙之比例若丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若乙与丁

十七题【分理】

相合之两几何为比例等则分之为比例亦等解曰甲乙丁乙与丙戊己戊相合两几何

甲乙与丁乙若丙戊与己戊题言分之甲丁与丁乙若丙己与己戊也

十八题【合理】

两几何分之为比例等则合之为比例亦等

解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其

甲丁与丁乙若丙己与己戊题言合之甲乙与丁乙若丙戊与己戊也

十九题【其糸为转理】

两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等

解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁

全之比例若截取之甲戊与丙己题言分余戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁

糸从此题可推界説十六之转理如上甲乙与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己

二十题

有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六

解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己题言若甲大于丙丁亦大于己若甲等于

丙丁亦等于己若甲小于丙丁亦小于己

二十一题

有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一大于第三则第四亦大于第六若第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六

解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例不序不序者甲与乙若戊与

己乙与丙若丁与戊以平理推之若甲大于丙题言丁亦大于己

论曰甲既大于丙即甲与乙大于丙与乙【本卷八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本卷四】则戊与己大于戊与丁是丁大于己也次解曰若甲等于丙题言丁亦等于己论曰甲丙既等即甲与乙若丙与乙【本卷】

【七】而甲与乙若戊与己即丙与乙亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本卷四】则戊与己若戊与丁是丁己等也后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙小于丙与

乙【本卷八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙若戊与丁【本卷四】则戊与己小于戊与丁是丁小于己也

二十二题【平理之序】

有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推之

解曰有若干几何甲乙丙又有若干几何丁戊己而甲与乙若丁与戊乙

与丙若戊与己题言以平理推之甲与丙若丁与己如更有庚辛二几何其丙与庚若己与辛依显甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】

二十三题【平理之错】

若干几何又若干几何其数等相为连比例而错亦以平理推

解曰甲乙丙若干几何丁戊己若干几何相为连比理而错者其甲与乙

若戊与己乙与丙若丁与戊题言以平理推之甲与丙亦若丁与己如更有庚辛两几何其戊与辛若甲与丙丙与庚若丁与戊即以甲丙庚作三几何丁戊辛作三几何相为连比例而错则甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】

耕曰以数明之甲设十八乙设九丙设六丁设四十八戊设三十二己设十六甲与丙若丁与己其故何也盖甲与乙若六与三

乙与丙若三与二则甲与丙若六与二矣又丁与戊若六与四戊与己若四与二则丁与己亦若六与二矣两前两后俱若六与二故比例等也庚辛两几何亦依此推显

二十四题

凡第一与二之比例若第三与四而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四

解曰一甲乙与二丙若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一

甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己

増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何毎截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等【此増与六题大同但六题言几倍此不言倍其意稍广矣】

二十五题

四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并

解曰甲乙与丙丁若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并

论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等甲庚丙辛既等于戊己其比例必若甲乙与丙丁也夫甲乙与丙丁既若甲庚与丙辛即亦若分余之庚乙与辛丁也【本卷十九】而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣若于戊加等己之丙辛于己加等戊之甲庚两率必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并二十六题

第一与二之比例大于第三与四反之则第二与一之比例小于第四与三

解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四

丁与三丙

二十七题

第一与二之比例大于第三与四更之则第一与三之比例亦大于第二与四

解曰一甲与二乙大于三丙与四丁题言之则一甲与三丙亦大于二乙与四丁

论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙大于戊与乙是甲大于戊则甲与丙必大于戊与丙矣夫戊与乙既若丙与丁更之则戊与丙亦若乙与丁则甲与丙大于乙与丁

二十八题

第一与二之比例大于第三与四合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与第四

解曰一甲乙与二乙丙大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙亦大于丁

己与戊己

论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊己即甲乙与乙丙大于庚乙与乙丙是甲乙大于庚乙矣此两率毎加一乙丙即甲丙亦大于庚丙甲丙与乙丙大于庚丙与乙丙即大于丁己与戊己二十九题

第一合第二与二之比例大于第三合第四与四分之则第一与第二之比例亦大于第三与四

解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言

分之则甲乙与乙丙亦大于丁戊与戊己【论同前】三十题

第一合第二与二之比例大于第三合第四与四转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三

解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙小于丁己与丁戊

耕曰甲丙与乙丙若四与一丁己与戊己若三与一则四与一大于三与一矣甲乙与乙丙若三与一丁戊与戊己若二与一则三与一大于二与一矣甲丙与甲乙若四与三丁己与丁戊若三与二则四与三小于三与二矣

三十一题

此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二此第二与三之比例大于彼第二与三如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三

解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于丁与戊乙与丙大于戊与己如是序者题言以平理推则甲与丙亦大

于丁与己

三十二题

此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三此第二与三之比例大于彼第一与二如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三

解曰甲乙内此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于戊与己乙与丙大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙亦大于丁与己

论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙大于庚与丙而乙几何大于庚【本卷十】

是甲与小庚大于甲与大乙矣【本卷八】夫甲与乙既大于戊与己即甲与庚更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本卷十】是大甲与丙大于小辛与丙矣【本卷八】夫辛与丙以平理推之若丁与己也【本卷二三】则甲与丙大于丁与己

三十三题

此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例

解曰甲乙全与丙丁全大于两截分甲戊

与丙己题言两分余戊乙与己丁大于甲乙与丙丁

论曰甲乙与丙丁既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊亦大于丙丁与丙己也【本卷二七】又转之甲乙与戊乙小于丙丁与己丁也【本卷三十】又更之甲乙与丙丁小于戊乙与己丁也【本卷二七】若两全之比例小于截分则分余之比例必小于两全

三十四题

若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末亦大于此并减第一与彼并减第一而小于此第一与彼第一

解曰甲乙丙三几何又丁戊己三几何其甲与丁大于乙与戊乙与戊大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并大

于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小

于甲与丁

论曰甲与丁既大于乙与戊更之即甲与乙大于丁与戊也【本卷二七】又合之甲乙并与乙大于丁戊并与戊也【本卷二八】又更之甲乙并与丁戊并大于乙与戊也【本卷二七】是甲乙全与丁戊

全大于减并乙与减并戊也既尔即减余甲与减余丁大于甲乙全与丁戊全也【本卷三三】依显乙与戊亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并大于丁与戊己并也【本卷二七】又合之甲乙丙全与乙丙并大于丁戊己全与戊己并也【本卷二八】又更之甲乙丙全与丁戊己全大于乙丙并与戊己并也【本卷二七】则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全既大于减并乙丙与减并戊己即减余甲与减余丁大于甲乙丙全与丁戊己全也【本卷三三】则得后解也又乙与戊既大于丙与己更之即乙与丙大于戊与己也【本卷二七】又合之乙丙全与丙大于戊己全与己也【本卷二八】又更之乙丙并与戊己并大于丙与己也【本卷二七】而甲乙丙并与丁戊己并既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也若两率各有四几何而丙与己亦大于庚与辛即与前论同理依上论乙与戊大于乙丙庚并与戊己辛并即甲与丁更大于乙丙庚并与戊己辛并也更之即甲与乙丙庚并大于丁与戊巴辛并也【本卷十八】又合之甲乙丙庚全与乙丙庚并大于丁戊己辛全与戊

己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并也【本卷二七】则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减余甲与减余丁大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也【本卷三二】则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上俱仿此

几何论约卷五