数学著作。全书厘为三卷,共计六十四问。元李治撰。成书于大元己未年(1259年)。(李治事迹参见“《测圆海镜》”条)

李冶定居于封龙山时,曾阅读过一部《益古集》,而《益古集》也是一部数学著作,可惜此书早已散失。李冶可能在《益古集》的基础上,写成《益古演段》一书。正如他在序中说:“近世有某者,以方圆移补成编,号《益古集》,真可与刘(徽)、李(淳风)相颉颃。余犹恨其閟匿而不尽发,遂再为移补条段,细翻图式,使粗知十百者,便得入室啖其文,顾不快哉。客有订愚曰: ‘子所述,果能尽轩隶之秘乎’?余应之曰:‘吾所述,虽不敢追配作者,诚令后生辈优而柔之。则安知轩隶之秘,不于是乎始’。”很明显,《益古演段》之“益古”二字显系源自《益古集》,而“演段二字意义,正如李锐所说:“所谓‘演’者,演立天元;‘段’者,以条段求之也”。其中“演立天元”,就是用天元术设定未知数并建立方程;“条段求之”,就是用图形解释方程;而“演段”二字,似应包括两方面,当是既用天元术建立方程,又以图形解释方程。

在《益古演段》里,李冶把《益古集》建立方程的方法,称为旧术;把天元术建立方程的方法,称为新术。所以有的问题则配备新、旧两术,有的问题只列新术。

根据记载可知,最初,在天元术中是用“人”字表示常数项;用“天”、“上”、“高”、“层”、“垒”、“汉”、“宵”、“明”、“仙”,分别表示未知数的一次、二次、……、九次项;用“地”、“下”、“低”、减”、“落”、“逝”、“泉”、“暗”、“鬼”分别表示未知数的负一次、负二次、……、负九次项。为了方便,李冶改变十九字为一字,即是用“元”表示一次项,或用“太”字表示常数项,而且用“元”不用“太”,或用“太”不用“元”。在《测圆海镜》里,由上到下采用降幂排列,如下左图;在《益古演段》里,由上到下采用升幂排列,如下右图所示:

以上两表都表示下列之多项式:

cx9+bx8+…+cx+d+c′x-1+…+b′x-8+a′x-9

至于李冶如何进行几何解释,今以卷上第十五问为例,用现代术语说明如下:

卷上第15问为:“今有圆田一段,内有方池水占之,外计地三十三亩一百七十六步。只云内方周不及外圆周一百五十二步。问外圆、内方各多少”。

李冶用新术解之如下:

设D为外圆径,a为内方池之一边,令x=a则有4x+152=3D=πD,

(4x+152)2＝9D2＝(πD)2,

即是12段也即4π段外圆面积,

12x2＝12a2＝4πa2,

即是12段也即4π段内方池面积。以上两式相减,得:(4x+152)2-12x2,

即是12段也即4π段真田面积。暂寄一旁,作为“左式”。

再以(12×8096)为“同数”,与上式相消,得“开方式”为:

4x2+ (8×152) x- (12×8096-1522)=0,

解之得X=25步。

其“旧术曰:十二之积步,为头位,以不及步自乘,减头位,余,八而一,为实。以不及步为从法。谦常置半步。开平方”。即得:

0.5x2+152x=12×8096-1522/8

在旧术下,李冶注说:“新、旧二术不同者,旧术从简耳。算术本贵简易,而犹立新术者,缘旧术难画条段也”。可见,李冶非常重视条段法,因而列有“依条段求之:十二段积步内减不及步幂,为实。八之不及步,为从四步,为常法也”。还绘有“条段图”,并解释如下:

于是李冶解释说:“十二段圆积,该九段圆径幂;九段圆径幂;便是一个圆周幂也。据十二段圆积内,元少十二个方池;今于周幂内除折算外,剩四个池积,故以四步为常法也”。

李冶的这种几何解释,是依据天元术推求开方式步骤解释的。即是说明由旧术所得各项系数与新术所得各项系数不同的原因。

在《益古演段》里,一般说,不但有问,有答,而且还有法,有“条段求之”,有“义”和“旧术”。其中“条段求之”,即是几何解释;“义”,就是说明;而“旧术”,即是《益古集》之原术。

李冶所撰《测圆海镜》与《益古演段》两书,都是数学书籍,都是用天元术解几何问题的著作;但两者编排体例有所不同,前者侧重于推求容圆直径,后者侧重于推求几个图形面积的和或差;前者只用天元术解题,而后者则兼用新、旧两术;前者内容比较专深,后者则比较通俗。

《益古演段》流传至今的版本,计有清乾隆五十一年(1786)戴震校订的四库本,有李锐校订的知不足斋本,有白芙堂算学丛书本,还有古今算学丛书本以及丛书集成本等。