数学著作。十二卷。原名为《测圆海镜细草》,后世一般称为《测圆海镜》。金、元间李冶撰。成书于戊申年(1248年)。
李冶,原名治,字仁卿,号敬斋,金代真定府栾城(今河北栾城县)人。金章宗明昌三年(1192年)生于其父任职之大兴城(今北京大兴县),卒于元世祖至元十六年(1279年),终年八十八岁,死后谥曰文正。
李冶自幼天资聪慧,性格颖悟,喜爱读书,手不释卷,尤其酷爱数学和文学书籍。其机智程度为一般子弟所不及。稍长,即到元氏(今河北元氏县)求学,于金哀宗正大七年(1230)赴洛阳应试,中“词赋科进士”,任命高陵(今陕西高陵县)“主簿”。因蒙古军进攻陕西,未到任即改调钧州(今河南禹县)任“知钧州事”,不久,于金哀宗天兴元年(1232),蒙古军攻克钧州,便弃官北上,虽然金哀宗也曾对抗蒙古军,但因政事腐败、国力单薄,天兴三年(1234),金廷灭亡。于是李冶流亡于忻、崞(今山西忻县、崞县)一带,后即隐居于崞东之桐川。
李冶在封龙山隐居期间,一面登坛设座聚众授徒,一面手不停披著书立说;除在桐川撰成《测圆海镜》外,在封龙山先后成书《益古演段》、《敬斋古今黈》、《泛说》、《文集》、《壁书丛削》等。其前两种是数学著作,第三种是一部随感录,记载了李冶对各种事物的心得体会,以及对文史的独到见解;很可惜,其后三种著作早已散失。
李冶在桐川隐居期间,曾得到“洞渊”九容之说,基于此,乃撰成《测圆海镜》一书。如序说:“吾自幼喜算数,恒病夫考圆之术,……,老大以来,得洞渊九容之说,日夕玩绎,而响之,病我者,使爆然落去,而无遗余。山中多暇,客有从余求其说者,于是乎又为衍之,遂累一百七十问。既成编,客复目之。‘测圆海镜’盖取夫天临海镜之义也。”《测圆海镜》是一部古代数学名著,不仅是论述容圆问题之专著,也是天元术的代表作。
《测圆海镜》全书共十二卷,其编排,一改古代传统数学著作的体例,在第一卷里,列有“圆城图式”、“总率名号”、“今问正数”、“识别杂纪”等项,这些项目悉为全书一百七十问的预备知识。其“圆城图式”,是绘制在卷首的勾股容圆图形,即是勾股形及其内切圆的图形,如右图所示:
在勾股形及其内切圆图形中,过勾股形各特殊点作横、纵直线,将此勾股形分为十五个相似的勾股形,并在各勾股形之顶点分别标一汉字,以表示这一勾股形的名称。这一作法,与现今几何学的作法完全一致。
“总率名号”就是给各勾股形及其三边分别确定一名称。这也与现今几何学的作法相同。
“今问正数”,就是给各勾股形之三边分别设定一正整数。若现今设计这十五个相似勾股形的四十五条边之数值,不但需要是正整数,而且需要符合勾股形的要求,还需符合相似形的条件。因而既需要几何学的知识,也需要初等数论的有关理论。李冶能设计出符合要求的四十五个正整数,足可证明其造诣之深。
“识别杂纪”,共列出六百九十二条命题,这些命题都是涉及各勾股形边与边之间的计算公式,其中除有八条谬误者外,其余六百八十四条命题完全正确无误。这些命题中,有的是定义,有的是公理,有的是定理,都是为全书一百七十问提供理论和计算的依据。可见,《测圆海镜》之编撰有其独特之处,可以肯定,《测圆海镜》有步入演绎体系之倾向。
勾股容圆
《测圆海镜》第二卷,主要论证容圆公式,其中包括有:1.“勾股容圆”,就是推求勾股形内切圆直径公式;2.“勾上容圆”,就是推求圆心在勾边上,与股、弦两边相切圆直径公式;3.“股上容圆”,就是推求圆心在股边上,与勾、弦两边相切圆直径公式;4.“勾股上容圆”,就是推求圆心在直角顶上,与弦相切圆直径公式; 5.“弦上容圆”,就是推求圆心在弦上,与勾、股两边相切圆直径公式;6.“勾外容圆”,就是推求勾边外之旁切圆直径公式;7.“股外容圆”,就是推求股边外之旁切圆直径公式; 8.“弦外容圆”,就是推求弦边外之旁切圆直径公式;9.“勾外容圆半”,就是推求勾边之外,圆心在股边延长线上,与勾边、弦边延长线相切圆直径公式;10.“股外容圆半”,就是推求股边之外,圆心在勾边延长线上,与股边、弦边延长线相切圆直径公式,其中第一个容圆公式,可能得自《九章算术》,而后九个容圆公式则当是源于“洞渊”九容之说。这十个容圆公式,都是为第三至第十二卷所列各问而设。
天元术,就是以文字代表未知数,用以建立方程,来解决问题的方法。这一方法虽然形成于金末、元初时期的山西、河北一带,但是,最原始的论述多已散失,流传至今有关天元术之代表作,应推李冶《测圆海镜》一书。李冶通过对天元术的深入研究,在《测圆海镜》里,使天元术系统化、程序化、模式化,使天元术能广为流传,其功则是不可没。《测圆海镜》之一百七十问,都是使用天元术,其解答步骤是:首先,设“天元一”为某某;其次,依题意,列出一天元筹式,将此式暂且寄放于左旁,称为“左式”;再次,依题意,列出与之等价的另一天元筹式,称为“同数”;而后,使“左式”与“同数”相减,即是“如积相消”或“相消”;最后,即得一“开方式”,求得“开方式”的正根,就是答案。这些步骤相当于:设X为某某,依题意,得一含有X的多项式,再求一与之等价的多项式,两式相减,即得一元方程,解方程,就得答案。如《测圆海镜》卷十一第六问为:
“出西门(I)南行二百二十五步有塔,出北门(J)东行六十四步,望塔正当城径之半。问答同前(问圆城径)”。
在《测圆海镜》中有“法”、有“草”,今以现代形式表示其计算过程如下:
设X为圆城半径,由《识别杂纪》可知,两行步数相乘之积,等于圆半径的平方,此与直角梯形上、下底乘积的意义相同,又按“弦上容圆”算法,可得:
以(225+x)看作股,以(64+x)看作勾,勾股相乘得,
称为“大直积”,除以x得:
此式等于勾股相加之和,将此式寄于在旁,即是“左式”。
再取勾股相加之和,得
(225+x) + (64+x) =289+2x
此即“同数”。使“左式”与“同数”相消,得:
解之得x=120步,即圆城半径。
仅就这一问来看,不但可以看出李冶利用“望塔正当城径之半”的视线,来体现作勾股形平行弦的作法,也可看出李冶利用天元术解答问题的步骤。因而可以肯定,《测圆海镜》虽有一些缺欠处,但对李冶的贡献可概括为:
一、用一文字,按不同位置表示不同次数的未知项,使得由文词代数便于演变成符号代数。
二、对十进小数表示法,与现今方法相一致。
三、利用乘法消去分母,化分式方程为整式方程。
四、利用乘方消去根号,化根式方程为整式方程。
五、创立升位法及降位法,在解法上提供了某些方便。
六、对于正、负整指数幂的理解,与现今的理解相接近。
七、在方程的次数上,比以前有显著提高。
八、所列方程突破了“实常为负”的限制。
九、其天元筹式的写法,给“四元术”提供了方便。
十、在书末出现了文词代数的初步尝试。
李冶编写《测圆海镜》时间虽早,但刊刻出版却较晚。流传至今最早的版本,要算是北京图书馆所藏元代抄本《测圆海镜细草》十二卷,中科院也藏有一部抄本,此外则有由戴震校订的四库本,由李锐校订的知不足斋丛书本,还有白芙堂算学丛书本,同文馆集珍本,古今算学丛书本,丛书集成本等。